Задание № 5. Задачи систем массового обслуживания

6.1. Одноканальная система обслуживания

Билетная касса работает 6 часов без перерыва. Билеты продает один кассир. Среднее время обслуживания одного человека - 2 мин. Среднее число желающих приобрести билеты 120 человек в день. Определить основные характеристики системы.

Решение

Имеем одноканальную СМО с ожиданием.

Интенсивность потока поступающих заявок (среднее число желающих приобрести билеты 120 человек в час)

l = 120/6 = 20 (чел./ч).

Поскольку среднее время обслуживания одной заявки связано с интенсивностью потока обслуживания формулой , то интенсивность обслуживания заявок (среднее число обслуживаемых клиентов в час) m = 1/ Т_обсл = 60/2 = 30 (чел./ч).

Параметр r = l/m = 20/30 = 2/3.

Среднее число требований в системе

2 (чел.)

Среднее число заявок в очереди

N_оч = 1 (чел.).

Среднее время пребывания одной заявки в системе

= 0,1 часа = 6 минут

Среднее время ожидания в системе одной заявки

= 0,1 ^. (2/3) = 1/15 (ч) = 4 минуты.

0. Многоканальная система в магазин, в среднем, в час заходят 30 человек. В магазине один продавец. Каждый покупатель находится в магазине около 12 мин..

Найдите:

• среднее число покупателей в магазине;

• среднее время обслуживания одного покупателя;

• среднее число покупателей в очереди.

Если принять на работу еще одного продавца, то на сколько изменятся следующие характеристики:

• среднее число клиентов в системе;

• среднее время обслуживания одного клиента в системе;

• среднее число клиентов в очереди.

Полагая, что объем продаж и оклад продавца составляет соответственно 200 и 3,5 грн./час, рассчитать величину издержек для одного и двух продавцов.

Решение

Характеристики одноканальной системы (один продавец) определяются также, как и в примере 6.1.

• среднее число покупателей в магазине;

• среднее время обслуживания одного покупателя;

• среднее число покупателей в очереди.

Интенсивность потока поступающих заявок l = 30 (1/ч). Время нахождения одного покупателя в магазине (системе) Т_сист = 12 мин. = 0,2 ч.

Так как , то среднее число покупателей в магазине

lТ_сист = 30 ^. 0,2 = 6 (чел.).

С другой стороны, , т.е. = 6/7.

Среднее число покупателей в очереди

N_оч = (чел.).

Среднее время ожидания в очереди

Т_оч = N_оч/ l = (36/7)/30 = 6/35 ≈ 0,17 (ч) ≈ 10 мин.

Среднее время обслуживания одного покупателя

Т_обсл = Т_сист - Т_оч = 12 – 10 = 2 (мин.).

Для двухканальной системы технические характеристики находим следующим образом.

Считая, что время обслуживания у второго продавца такое же, как и у первого, полагаем r = 6/7. Условие применимости уравнений Эрланга r < 1 выполняется, поэтому для установившегося режима работы двухканальной системы (n = 2) находим:

• предельную вероятность того, что система свободна

= 0,4;

• среднее число занятых каналов r = 6/7 ≈ 1 (канал);

• среднюю длину очереди

≈ 0,5 (чел.);

• среднее число заявок в системе

N_оч + r = 27/56 + 6/7 = 75/56 ≈ 1,34;

• среднее время нахождения заявки в очереди

T_оч = N_оч / l = 0,5 / 30 = 1/60 (ч) = 1 мин.;

• среднее время нахождения заявки в системе

T_сист = / l = 1,34/30 ≈ 0,045 (ч) = 2,68 (мин.).

Таким образом,

• среднее число клиентов в системе

lТ_сист = 1,34 (чел.).;

• среднее время обслуживания одного клиента в системе

Т_обсл = Т_сист - Т_оч = 2,68 – 1 = 1,68 (мин.);

• среднее число клиентов в очереди

N_оч = 0,5 (чел.).

Величина издержек при работе одного продавца (С = 200 грн./ч и D = 3,5 грн./ч) составит

Z₁ = N_оч(1) С + 1 ^. D = 5 ^. 200 + 3,5 = 1003,5 (грн./ч);

а при работе двух продавцов

Z₂ = N_оч(2) С + 2 ^. D = 0,5 ^. 200 + 2 ^. 3,5 = 107 (грн./ч).

Величина издержек сокращается почти в десять раз, поэтому имеет смысл принять на работу в данный магазин еще одного продавца.