2.2 Розв′язання задачі №2

Маємо енергетичний спектр S(ω) :

Представимо енергетичний спектр як функцію трьох змінних :

Згідно до технічного завдання α = 20 с^-1 , ω₀ = 10 рад/c , тоді спектр набуде вигляду :

Графік спектра зображено на рис.2.2.1

Рисунок 2.2.1

За ефективну ширину спектру приймають смугу частот, у межах якої зосереджена основна частина (зазвичай 95 %) потужності процесу. Однак при аналізі випадкових процесів, що характеризуються нерівномірним спектром з сильно виявленим максимумом, часто використовують поняття ефективної

ширини спектру, що визначається виразом :

,

де S_max(ω) − найбільше значення функції спектральної щільності.

З рис.2.2.1 легко бачити , що S_max(ω) = S( 0,10,20 ) = 0.019.

За допомогою математичного пакету MATHCAD визначаємо :

Таким чином :

рад/c

Інтервал кореляції стаціонарного випадкового процесу визначається за формулою :

с

Шляхом усереднення за ансамблем реалізації отримано вираз для енергетичної характеристики сукупності реалізацій випадкового процесу:

.

Цей вираз являє собою пряме перетворення Фур’є для кореляційної функції. Обернене перетворення Фур’є має вигляд :

.

Обернене та пряме перетворення Фур’є, що пов’язують функції S(ω) та K(τ), мають назву перетворень Хінчіна-Вінера.

Для визначення кореляційної функції скористаємось зворотнім перетворенням Фур'є :

Графік функції зображено на рис.2.2.2.

Рисунок 2.2.2

Якщо визначити кореляційну функцію як :

,

то за допомогою математичного пакету MATHCAD складаємо наступну табл.2.2.1 :

Таблиця 2.2.1

α	K (5, α )
0	4.1759 · 10-2
0.2	4.1135 · 10-2
0.4	1.5133 · 10-2
0.6	5.5672 · 10-3
0.8	2.0481 · 10-3
1.0	7.5347 · 10-4
2	5.0768 · 10-6
3	3.4207 · 10-8
4	2.3049 · 10-10
5	1.5530 · 10-12
6	1.0464 · 10-14
7	7.0502 · 10-17
8	4.7507 · 10-19
9	3.2009 · 10-21
10	2.1567 · 10-23

Відповідний графік функції K(τ ,α ) при τ=5 зображено на рис.2.2.3 :

Рисунок 2.2.3

2.3 Розв′язання задачі №3

Визначимо пропускну спроможність дискретного каналу без завад , в якому використовується m символів з тривалістю t₁ , t₂ , ... , t_і , ... , ... t_m . Символи вважаються незалежними і будь-яка послідовність символів – це деяке повідомлення . Задано символи з тривалістю (табл.2.3.1):

Таблиця 2.3.1

t1,с	t2,с	t3,с	t4,с
4	4	8	8

Пропускна спроможність дискретного каналу:

C = log λ _max ,

де λ _max – максимальний корінь характеристичного рівняння.

Значення коефіцієнтів λ знаходяться із розв'язку характеристичного рівняння:

1- λ^-t1- λ^-t2- ... - λ^-tm = 0

Звідси:

1- λ^-t1- λ^-t2- λ^-t3- λ^-t4 = 0 ,

1- λ^-4- λ^-4- λ^-8- λ^-8 = 0 ,

1- 2λ^-4- 2λ^-8= 0

Нехай λ^-4 = х , тоді

1- 2х – 2х² = 0 ,

2х² + 2х – 1 = 0

Розв^'язки :

х₁ = - ¹⁄₂ - ^{√ 3} ⁄_{2 ,}

х₂ = - ¹⁄₂ + ^{√ 3} ⁄₂

Отже λ^-4 = ^{√ 3} ⁄₂ - ¹⁄₂ = 0.3660254

Розв^'язуючи рівняння :

λ^-4 - 0.3660254 = 0

Отримаємо розв^'язки :

λ ₁ = - 1.285648 ί ,

λ ₂ = 1.285648 ί ,

λ ₃ = - 1.285648 ,

λ ₄ = 1.285648

Отже , максимальний корінь характеристичного рівняння буде :

λ _max = 1.285648

Пропускна спроможність дискретного каналу:

C = log λ _max = log (1.285648 ) = 0.3624979 біт/c .