Основне рівняння динаміки обертального руху. Момент інерції
Тверде тіло з нерухомою віссю обертання під дією сил, результуючий момент яких відносно осі не дорівнює нулю, приводитиметься в обертальний рух з певним кутовим прискоренням. Знайдемо залежність між результуючим моментом сил і кутовим прискоренням обертального руху тіла.
Уявляючи
тіло як систему матеріальних точок,
розглянемо одну з них – з масою mi, що
лежить на відстані
від осі обертання і перебуває під дією
сили
.
Маємо на увазі, що сила
– тангенціальна, бо тільки така сила
може впливати на обертання.
Застосувавши до розглядуваної точки другий закон механіки
Fi=miai (1)
і ввівши замість тангенціального прискорення кутове, однакове для всіх точок тіла, матимемо:
Fi=miri (2)
де – кутове прискорення. Оскільки в динаміці обертального руху істотну роль відіграє момент діючої сили, то для введення його помножимо вираз сили (2) на плече г:.
Mi=miri2 (3)
де Мі –момент сили Fі відносно осі обертання ОО'.
Записавши
такі залежності для всіх матеріальних
точок, на які поділено тіло, і взявши їх
суму,
дістанемо
де
– результуючий момент обертаючих сил;
– кутове прискорення, однакове для всіх
точок, можна винести за знак суми
(4)
Вираз
(4) є основним рівнянням динаміки
обертального руху твердого тіла. Він
аналогічний рівнянню динаміки
поступального (прямолінійного) руху
F=ma, тільки для обертального руху сила
замінюється моментом сили, лінійне
прискорення –кутовим, а маса як міра
інертності – величиною
Останню називають моментом інерції
тіла відносно осі обертання і позначають
буквою I:
(5) де
–
добуток маси і-ї точки на квадрат відстані
від осі обертання є моментом інерції
матеріальної точки.
Момент інерції є мірою інертності тіла в обертальному русі. Це скалярна величина; в СІ момент інерції виражають у кг • м2.
Остаточно
основне рівняння динаміки обертального
руху твердого тіла записують у такому
вигляді:
(6)
При сталому моменті інерції тіла кутове прискорення прямо пропорційне результуючому моменту діючих сил. Якщо результуючий момент дорівнює нулю, то кутове прискорення також дорівнює нулю, отже, тіло перебуває в стані спокою або рівномірного обертального руху.
Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу
З'ясуємо
суть основного рівняння динаміки
обертального руху твердого тіла щодо
передавання механічного руху при
взаємодії тіл. Для цього рівняння
динаміки зведемо до такого вигляду:
.
Оскільки для твердого тіла з нерухомою
віссю обертання момент інерції І сталою
величиною, то її можна внести під знак
:
(і) Добуток Ii
для довільної матеріальної точки інакше
можна виразити так:
де mivi – імпульс точки; ri – відстань
точки від осі обертання.
Векторний
добуток вектора імпульсу на радіус-вектор
називають моментом імпульсу точки.
Очевидно, сума моментів імпульсу всіх
матеріальних точок, на які поділено
тіло, дорівнює моменту імпульсу всього
тіла
(2) Момент імпульсу – це вектор однакового
напрям}' з вектором кутової швидкості.
З рівності (1) випливає, що зміна моменту імпульсу тіла при обертанні пропорційна результуючому моменту діючих сил і відбувається в напрямі діючого моменту. Такий зміст основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла.