18. Выбор в условиях неопределённости

До сих пор мы обсуждали подходы к описанию и осуществлению выбора в таких условиях, когда последствия сделанного выбора были определены однозначно. Выбор одной из альтернатив х Є Х был связан с известным выбирающему однозначным следствием, и вся проблеми выбора — это проблема сравнения разных следствий (или, что в данном случае то же самое, альтернатив) .

В реальной практике нередко приходится иметь дело с более сложной ситуацией, когда выбор альтернативы неоднозначно определяет последствия сделанного выбора: имеется набор возможных исходов , из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но какой именно — в момент выбора неизвестно, а станет ясным позже, когда выбор уже сделан и изменить ничего нельзя. Хотя с каждой альтернативой х связано одно и то же множество исходов У, для разных альтернатив одинаковые исходы имеют разное значение. В случае дискретного набора альтернатив и исходов такую ситуацию можно изобразить с помощью следующей матрицы:

В этой матрице все возможные исходы образуют вектор числа а_nm выражают оценку ситуации, когда сделан выбор альтернативы Xj и реализовался исход у. В разных случаях числа с}ц могут иметь различный смысл: иногда это "выигрыши", иногда "потери", "платежи"; в литературе потребляються также и другие названия.

Если все строки (і = (qn, -., Qim)) при любых ; одинаковы, то проблемы выбора между альтернативами нет. Если же строки матрицы различны, то возникает вопрос, какую альтернативу предпочесть, не зная заранее, какой из исходов реализуется.

Неопределенность в момент выбора характеризуется распределением потерь и выигрышей по исходам, связанным с каждой альтернативой. Вводя подходящую числовую характеристику этого распределения, мы получаем возможность упорядочения (сравнения) альтернатив. Разнообразие задач теории игр связано с разными числовыми характеристиками распределения потерь, различными степенями конфликтности между сторонами, с другими особенностями конкретных задач.

19. Выбор в условиях статистической неопределённости

Существует класс задач выбора, особенностью которых является наличие неопределенности даже после того, как проведена серия наблюдений, измерений. Дело в том, что данные, полученные в результате эксперимента, связаны с интересующим нас аспектом явления не непосредственно, не однозначно, а в совокупности с другими, неконтролируемыми факторами.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КАК ВЫБОР

Пусть, например, требуется знать высокоточное значение веса некоторого предмета. Неоднократное его взвешивание на аналитических весах даст хотя и близкие, но разные значения, так как на показания весов оказывают влияние не только вес самого взвешиваемого предмета, но и трение, неидеаяьность геометрической формы опорной призмы,течение струй воздуха, тепловой режим и т.д. В таких задачах возникает нетривиальная проблема выбора, какое именно из значений интересующей нас вели- чины принять за истинное — с учетом имеющихся данных. Аналогичная ситуация — выбор в условиях статистической неопределенности — имеет место не только при оценке некоторой величины,но и при классификации объектов (чем болен пациент, если его состоя-ние характеризуется такими-то данными анализов? )Во всех таких задачах есть общее ~ необходимость выбора на осно-вании косвенных или прямых, но обязательно зашумленных" дан-ных, Основным, центральным, самым важным предположением для формализации решения таких задач является предположение о статистичноети экспериментальных данных. Оно состоит в том, что связь между истинной, но неизвестной искомой альтернативой в и наблюдаемыми данными xi, x-i, ..., х^ адекватно описывается распределением вероятностей (например, функцией распределения F(xi, .,., л-дгКЗ) или, если Xi - непрерывные величины, а функция F дифференцируема, -плотностью вероятностей f(xi,.... х^\9)). Другими словами, считается, что, во-первых, выборка наблюдений принадлежит статистическомуансамблю всевозможных выборок, на котором задано распределение вероятностей, и, во-вторых, это распределение различно для разных Q,что и обеспечивает наличие информации о в в выборке Xi, ..., х^ . Вопрос состоит в том, как извлечь эту информацию, т.е. каксделать выбор на множестве © или как принять статистическое ре-шение. Естественно, напрашивается идея — свести задачу к уже решенной ранее. Такую возможность предоставляет теория "игр против природы" : выбор б на © и действительное состояние в природы можнов совокупности охарактеризовать функцией потерь 1(9, 0), которую и рассматривать как платежную функцию игры. Использование такого представления в самом деле позволяет перенести ряд результатов теории игр в теорию статистических решений [5] . По некоторим причинам теоретико-игровой подход к статистике, сохраняя свое методологическое, еждисциплинарное значение, не оказал существенного влияния на прикладную статистику.

Так как вся информация о случайном объекте содержится в его распределении вероятностей, то любая статистическая задача, по существу, может быть сведена к выбору определенного распределения из некоторого множества распределений. Априорная информация для такого выбора выражается некоторым функционалом от распределения, значение которого надо оценить. Апостериорная информация для этого содержится в выборке. Различные предположения известно о природе выборки, порождают различные ветви математической статистики.