Классические частотно-временные представления.

Классический метод для анализа нестационарных сигналов – кратковременное преобразование Фурье. Было предложено Габором в 1946м году. КПФ базируется на хорошо известном классическом преобразовании Фурье

                                           (1)

Из выражения (1) следует, что сигнал интегрируется на бесконечном временном интервале. Это означает, что не нужно беспокоиться о времени при использовании этого преобразования. Не уделяется вниманию тому, когда имеют место те или иные частотные компоненты сигнала. Базовая идея КПФ состоит во введении временного окна, которое двигается вдоль сигнала. В таком случае можно вычислить спектр, индексированный во времени.

                              (2)

Из выражения (2) очевидно, что результаты частотно-временного анализа зависят от выбора временного окна g(т). Длинные окна дают высокое разрешение по частоте, но скудное по времени. Короткие окна обеспечивают высокое разрешение по времени, но низкое по частоте. КПФ для неравномерно дискретизированых сигналов в моменты tk может быть выражено

                               (3)

Где суммирование включает все отчеты, расположенные внутри выбранного временного окна с длиной Tg. Основной недостаток КПФ – его ограничения по разрешению. Его можно улучшить, заменив КПФ другой более высокоразрешающей техникой оценки спектра, например авторегрессивным моделированием. Распределение Вигнера использовалось как альтернатива КПФ, чтобы преодолеть его недостатки по разрешению. В общем случае распределение Вигнера выражается так:

                               (4)

Распределение Вигнера обеспечивает высокое разрешение по частоте и по времени для монокомпонентных сигналов. Однако, если сигнал состоит из нескольких компонент, появляется дополнительная интерференция или кросс-компоненты. В дискретной форме распределение Вигнера выражается так:

                                   (5)

Заметьте необходимость знать значения сигнала в моменты  и  что приводит к возможности применения распределения Вигнера только для равномерно дискретизированых сигналов. Более того, чтобы избежать искажений из-за частотного элайзинга, сигнал должен быть дискретизирован  с частотой вдвое больше, чем по критерию Найквиста для вещественного сигнала.

Чтобы преодолеть недостатки кросс-компонент в распределили Вигнера и ограничения по разрешению КПФ, может быть использовано вейвлет преобразование. Текущее вейвлет преобразование для сигнала х(т) определяется как

                                             (6)

Где a – это масштабирующий фактор и h(t) так называемый анализирующий вейвлет. Частотно-временную версию можно получить, произведя замену a=f0/fАнализ можно рассматривать как набор фильтров, содержащий полосовые фильтры с полосой пропускания пропорциональной частоте. Многомасштабная природа вейвлет анализа ведет к некоторым ограничениям. Техники Вейвлет преобразования используют такой масштабирующий профиль, что разрешение по частоте снижается на высоких частотах, а временное разрешение – на низких. Хотя такой выбор масштабирования приводит к замечательным математическим структурам и алгоритмам, нет физических причин полагать, что оно противоположно натуральному поведению структуры.