133. Язык функции выбора

Некоторые особенности выбора привели к построению третьего, еще более общего языка его описания. Во-первых, нередко приходится сталкиваться с ситуациями, когда предпочтение между двумя альтернативами зависит от остальных альтернатив. Например, предпочтение покупателя между чайником и кофеваркой может зависеть от наличия в продаже кофемолки. Во-вторых, возможны такие ситуации выбора, когда понятие предпочтения вообще лишнего смысла. Например, по отношению к множеству альтернатив довольно обычными являются правила выбора "типичного", выбора "среднего", выбора "наиболее отличного, оригинального", теряющие смысл в случае двух альтернатив

Функций выбора КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ

Язык функций выбора описывает выбор как операцию над произвольным множеством альтернатив X, которая ставит этому множеству в соответствие некоторое его подмножество С(Х): С(Х) С X. (Обозначение связано с первой буквой английского слова cboise - "выбор"). Функция выбора как отображение совокупности множеств в совокупность множеств (поскольку для выбора могут предлагаться любые подмножества Xj С X) без поэлементного отображения одного множества на другое и без отображения множеств на числовую ось является своеобразным и пока еще не полно изученным математическим объектом. Конечно, накладывая на функцию выбора определенные требования, мы можем на этом языке описывать и те варианты выбора, которые отражаются в предыдущих языках. Однако главное достоинство нового языка - возможность рассмотрения более сложных правил выбора. На такую возможность указывает хотя бы различие числа возможных функций выбора и числа возможных графов предпочтения на множестве п альтернатив. Число графов, отличающихся наличием или отсутствием хотя бы одной дуги, равно 2^{n^2} . Если для выбора предлагаются k из п альтернатив, то число функций выбора равно 2 ^k (каждая из альтернатив может либо входить в С(X_k), либо нет). Так как число возможных вариантов предъявления альтернатив равно C^k_n, то общее число функций выбора равно . Как видим, разнообразие

функций выбора намного превосходиг разнообразие графов предпочтения. Кроме того, здесь сразу допускается отказ от выбора, т.е. пустой выбор С(X_i) = ф, что также расширяет множество правил выбора.

ОГРАНИЧЕНИЯ НА ФУНКЦИИ ВЫБОРА

Различие между классами правил выбора можно выразить через различные ограничения, которым подчиняется тот или иной тип функции выбора. Отдельные ограничения и их комбинации дают уже известные нам правила выбора, другие определяют новые правила, которые предстоит изучить. Приведем некоторые из таких ограничений:

Аксиома наследования (Н):

Смысл этой аксиомы сводится к требованию, чтобы в выбор на подмножестве X' вошли все те альтернативы из X', которые входили- в выбор на Х (возможно, еще и другие; рис. 7.6, а).

Аксиома согласия (С):

Это означает, что в выбор из объединения множеств обязательно должны входить альтернативы, общие для выборов из всех множеств (и, возможно, другие альтернативы; рис. 7.6, б) .

Оказывается, совместное подчинение функции выбора аксиомам Н и С дает выбор, описываемый в языке бинарных отношений.

Аксиома отбрасывания (О):

Э то означает, что если отбросить любую часть отвергнутых при выборе альтернатив, то выбор на оставшемся множестве не изменится (рис. 7.6, е) ; поэтому данную аксиому называют также условием независимости от отвергнутых альтернатив.

Совместное наложение на выбор аксиом Н, С и О приводит к случаю выбора паретовского множества.

Аксиома Плотта (КС):