4.4. Экзамен по теоретическим основам начального курса математики с методикой преподавания. Теоретические основы начального курса математики

Раздел I. Общие понятия математики.

Тема 1. Множества и операции над ними.

Множества. Множества в начальной школе. Способы задания множеств. Отношения между множествами. Круги Эйлера.

Объединение и пересечение множеств. Законы этих операций. Законы, связывающие объединение и пересечение. Связь этих законов с законами на множестве Z0.

Разность множеств. Дополнение подмножества. Разбиение множества на классы.

Понятие упорядоченной пары. Декартово произведение двух множеств. Изображение декартова произведения двух числовых множеств на координатной плоскости.

Тема 2. Математические понятия, их особенности.

Объём и содержание понятия. Связь между объемом и содержанием понятия. Родовые и видовые понятия.

Определение понятий. Явные и неявные определения.

Определение понятий через род и видовые отличия. Требования к определению понятий через род и видовые отличия. Требования к определению понятий через род и видовые отличия.

Определение в начальной школе.

Тема 3. Математические предложения (высказывания, высказывательные формы, операции над ними).

Понятие высказывания. Простые и составные высказывания. Определение значения истинности составных высказываний.

Понятие высказывательной формы (предиката). Высказывания с кванторами. Определение их значения истинности и построения отрицаний.

Высказывания и высказывательные формы в начальной школе.

Отношения логического следования и равносильности между предикатами. Необходимые и достаточные условия.

Тема 4. Умозаключения и доказательства.

Понятие умозаключения.

Дедуктивное умозаключение.

Правила заключения, отрицания, силлогизма.

Неполная индукция, аналогия.

Строение и виды теорем.

Правила в начальной школе.

Тема 5. Соответствие между элементами двух множеств.

Понятие соответствия между элементами двух множеств. Способы задания соответствия.

Соответствие, обратное данному. Взаимно однозначные соответствия. Равномощные множества.

Тема 6. Числовые функции. Прямая, обратная пропорциональности, их свойства и графики.

Определение числовой функции.

Способы задания функции.

Возрастание и убывание функции на промежутке.

Прямая и обратная пропорциональности, их свойства и графики.

Использование свойств прямой и обратной пропорциональности при решении текстовых задач.

Тема 7. Отношения на множестве и их свойства.

Понятие отношения на множестве. Способы задания отношений.

Свойства отношений. Отношения эквивалентности и порядка. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы.

Отношения и соответствия в начальной школе.

Тема 8. Уравнения и неравенства с одной переменной.

Числовые равенства и неравенства. Основные свойства истинных числовых равенств и неравенств.

Понятие уравнения с одной переменной. Корень уравнения. Равносильные условия.

Теоремы о равносильных уравнениях.

Понятие неравенства с одной переменной. Решение неравенства. Равносильные неравенства.

Теоремы о равносильных неравенствах.

Уравнение и неравенства в начальной школе.

Тема 9. Текстовая задача и процесс её решения.

Понятие текстовой задачи, её структура.

Методы и способы решения текстовых задач.

Основные этапы решения задачи (анализ, поиск плана, его выполнение, проверка) и приёмы выполнения этих этапов.

Моделирование в процессе решения задачи.

Раздел II. Натуральные числа и нуль.

Тема 1. Теоретико – множественный подход к построению множества натуральных чисел.

Теоретико – множественный смысл количественного натурального числа и нуля. Порядковые и количественные натуральные числа. Отрезок натурального ряда.

Множество Z0. Отношение "равно" и "меньше" на Z0 их свойства.

Свойства множества Z0.

Теоретико – множественный смысл сложения ц. н. ч. Законы сложения.

Теоретико – множественный смысл разности ц. н. ч. Существование и единственность разности. Связь сложения и вычитания ц. н. ч.

Теоретико – множественный смысл произведения ц. н. ч. законы умножения.

Теоретико – множественный смысл частного натурального числа и ц. н. ч. Существование и единственность частного.

Невозможность деления на нуль.

Деление с остатком.

Тема 2. Смысл натурального числа как меры величины и действий над числами, являющимися мерами величин.

Величина как свойство объектов и явлений окружающего мира.

Сложения и вычитание однородных величин, их сравнение.

Умножение величины на число.

Измерение величин. Единицы величин (длины, площади, массы и др.).

Натуральное число как мера величины.

Смысл сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел, полученных при измерении величин.

Тема 3. Системы счисления.

Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления.

Десятичные системы счисления. Запись и чтение чисел в десятичной системе счисления.

Алгоритмы арифметических действий над многозначными числами в десятичной системе счисления и их теоретическое обоснование.

Тема 4. Делимость целых неотрицательных чисел.

Понятие отношения делимости, его свойства.

Делимость суммы, разности и произведения на число.

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 9 в десятичной системе счисления.

Раздел III. Расширение понятия числа.

Тема 1. Положительные рациональные числа.

Задача расширения множества Z0. Понятие дроби, равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дроби, приведение дробей к общему знаменателю.

Понятие положительного рационального числа. Множество положительных рациональных чисел и его свойства. Сравнение положительных рациональных чисел.

Определение арифметических операций над положительными рациональными числами, свойства действий над положительными рациональными числами.

Множества положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел.

Понятие десятичной дроби. Запись, чтение и сравнение десятичных дробей.

Множество положительных рациональных чисел как множество бесконечных десятичных периодических дробей.

Тема 2. Действительные числа.

Необходимость расширения множества положительных рациональных чисел.

Понятие положительного иррационального числа.

Множество положительных действительных чисел.

Операции на множестве положительных действительных чисел.

Понятие отрицательного действительного числа.

Множество действительных чисел.

Раздел IV. Геометрические величины и их измерение.

Тема 1. Основные понятия геометрии.

Понятие геометрического тела, поверхности, линии, точки.

Геометрические фигуры: отрезок, луч, выпуклый многоугольник и его виды, окружность и круг, их свойства.

Тема 2. Длина отрезка, площадь фигуры, их измерение.

Понятие отрезка. Понятие длины отрезка и её измерение.

Свойства длины. Стандартные единицы длины.

Построение отрезка заданной длины.

Понятие площади фигуры и её измерения. Свойство площади.

Равновеликие и равносоставленные фигуры.

Площадь многоугольника, площадь криволинейной фигуры и её измерение. Палетка.

Площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, круга.