Задача №2

Для кола (рис. P4.2,a) визначити значення ємності конденсатора, при якій в колі наступить резонанс при Параметри кола: , .

Рішення:

В цьому колі спостерігається резонанс струмів (РС).

Умова РС:

Для визначення B_Le зробимо еквівалентне перетворення вітки з послідовним з’єднанням опорів в паралельне з’єднання провідностей B_Le , G

, .

Тепер умова РС запишеться так:

,

звідки

.

Висновок:

– якщо послідовно з реактивним елементом стоїть резистор, то потрібно, використовуючи формули еквівалентного переходу від послідовного з’єднання опорів до паралельного з’єднання провідностей, перейти до еквівалентної схеми (рис. P4.2,б). потім із умови резонансу визначаємо необхідну резонансну величину або .

Задача №3

В колі (рис. Р4.3,а) має місце резонанс при частоті . Визначити ємність конденсатора С, якщо R₁ = 20 Ом, L= 0,2 Гн, R₂ = 500 Ом.

Рішення

1. Визначаємо тип резонансу. В цьому колі має місце резонанс напруг.

2. Умова резонансу напруг:

X_L = X_Ce .

Щоб знайти X_Ce, треба звільнитися від R₂.

Для цього перейдемо від паралельного з’єднання провідностей В₂, G₂ до послідовного з’єднання опорів (рис. Р4.3,б)

, .

3. Тепер умова РН через параметри кола запишеться так:

.

Підставимо числові значення:

; ;

Висновок:

– якщо в колі зі змішаним з’єднанням елементів зустрічається паралельне з’єднання пасивних елементів, то, використовуючи формули еквівалентного переходу, необхідно перейти до послідовного з’єднання (рис. Р4.3,б), а потім із умови резонансу напруг визначаємо резонансні величини ω₀, L₀, C₀.

Задача №4

В колі (рис. Р4.4) визначити струми в гілках та напруги на них, якщо:

U=200 В, R₁=50 Ом, L₁=0,2 Гн, R₂=50 Ом, C₂=5 мкФ, L₃=0,1 Гн, C₃=10 мкФ, I_А=0.

Р ішення

1. Визначимо кутову частоту ω напруги зовнішнього джерела енергії. Для цього скористаємося умовою, що І_А=0. В цьому випадку на ділянці з паралельним з’єднанням L₃ та С₃ має місце резонанс струмів, тому В_L=B_C , або

.

Звідси:

.

2. Знаходимо реактивні опори ділянок кола:

3. Визначимо струм І₁. Так як І_А=0, то елементи кола R₁, L₁, R₂ та С₂ з’єднані послідовно і тому

.

На цій ділянці кола спостерігається резонанс напруг, так як Х_L1=X_C2.

4. Знаходимо напругу на паралельних вітках:

.

5. Визначаємо струми в паралельних гілках:

.

Висновок:

– в колах змінного струму при відповідному підборі параметрів їх елементів можна спостерігати і резонанс струмів і резонанс напруг.

Тема 5. Електричні кола з взаємною індукцією

5.1. Взаємна індукція в колах змінного струму

Електричні кола, які мають загальний магнітний потік, називаються колами з взаємною індукцією або індуктивно зв’язаними (або з індуктивним зв’язком).

Якщо магнітне поле однієї індуктивної котушки частково зціплене з витками другої котушки, то такі індуктивні котушки називаються індуктивно зв’язаними.

Розглянемо дві індуктивні котушки, розташовані рядом (рис. 5.1).

Н ехай перша котушка підключена до джерела напруги і по ній протікає струм i₁, а друга котушка вимкнута, тому i₂=0.

Навколо першої котушки виникає магнітне поле.

Магнітний потік, зчеплений з витками першої котушки і обумовлений струмом в ній, називається потокозчепленням самоіндукції:

ψ_1L=ω₁Ф₁=L₁i₁ [Вб].

Напрямок потокозчеплення визначається за правилом правої руки. Але може бути, що частина магнітного потоку першої котушки зчеплена з витками другої котушки.

Магнітний потік, обумовлений струмом в першій котушці, і зчеплений з витками другої котушки (тобто частина потокозчеплення самоіндукції І котушки) називається потокозчепленням взаємної індукції:

ψ₂₁= ψ_2м= М₂₁·і₁,

де М₂₁= ψ₂₁/і₁ – взаємна індуктивність між першою та другою котушками, залежить від форми, розмірів, взаємного розташування котушок та магнітних властивостей середовища.

Решта потокозчеплення самоіндукції першої котушки, яка зчеплена тільки з власними витками називається потокозчепленням розсіяння:

ψ_1s=L_1si₁,

де L_1s – індуктивність розсіяння першої котушки.

Таким чином:

ψ_1L= ψ₂₁+ ψ_1s

Якщо струм в першій котушці змінюється за часом, то і потокозчеплення будуть змінними величинами. За законом Фарадея в першій котушці буде наводитися ЕРС самоіндукції:

e_1L=-dψ_1L /dt=-L₁·di₁ /dt,

а в другій – ЕРС взаємної індукції:

e_2L=-dψ₂₁ /dt=-М₂₁·di₁ /dt.

Тепер розглянемо інший випадок, коли друга котушка підключена до джерела напруги і в ній протікає струм і₂ , а перша котушка вимкнута і і₁=0. Маємо:

ψ_2L=L₂·i₂ – потокозчеплення самоіндукції другої котушки;

ψ₁₂= ψ_1м=М₁₂·і₂ – потокозчеплення взаємоіндукції;

ψ_2s=L_2s i₂ – потокозчеплення розсіювання другої котушки.

де: М₁₂ – взаємна індуктивність між другою і першою котушками;

L_2s – індуктивність розсіювання другої котушки.

Теж вірно:

ψ_2L= ψ₁₂+ψ_2s.

Якщо струм в другій котушці змінний, то одержимо ЕРС самоіндукції e_2L та ЕРС взаємної індукції e₁₂:

e_2L=-dψ_2L /dt=-L₂·di₂ /dt;

e₁₂=-dψ₁₂ /dt=-М₁₂·di₂ /dt.

В лінійних індуктивно зв’язаних котушках зазвичай

M₁₂=M₂₁=M [Гн].

Т епер розглянемо загальний випадок, коли в обох котушках протікають змінні струми і₁ та і₂ (рис. 5.2). В цьому випадку загальне потокозчеплення кожної котушки буде складатися із потоко-зчеплення самоіндукції та взаємоіндукції. Наприклад, в першій котушці:

ψ_I=ψ_1L± ψ₁₂

Так як потокозчеплення самоіндукції обумовлює ЕРС самоіндукції, а потокозчеплення взаємоіндукції – ЕРС взаємоіндукції, то загальна ЕРС в І котушці буде:

е_I=е_1L± е₁₂.

Можливі два випадки включення котушок – узгоджене та зустрічне, від чого і залежать знаки “+” або “-“.

Узгодженим називається таке включення котушок, при якому потокозчеплення самоіндукції та взаємоіндукції і ними обумовлені ЕРС співпадають за напрямом, тобто мають однакові знаки.

Зустрічним називається таке включення котушок, при якому потокозчеплення самоіндукції та взаємної індукції і ними обумовлені ЕРС направлені протилежно, тобто мають різні знаки.

Для визначення знака ЕРС взаємоіндукції вводять поняття однойменних затискачів.

Затискачі двох котушок називаються однойменними, якщо при однаковому напрямку струмів відносно них потокозчеплення самоіндукції та взаємної індукції співпадають за напрямом (рис. 5.3).

а і в, б і г – однойменні затискачі.

На електричних схемах однойменні затискачі позначаються крапками.

Чим менше потокозчеплення розсіяння, тим ближче потокозчеплення взаємної індукції до потокозчеплення самоіндукції.

Для оцінювання ступеню магнітного зв’язку між котушками користуються коефіцієнтами зв’язку та розсіяння:

– коефіцієнт зв’язку. ( ).

Коефіцієнт зв’язку показує, яку частину реально обумовлена ЕРС взаємної індукції складає від тої максимальної ЕРС, яку б змогла навести одна котушка в другій в ідеальному випадку.

Коефіцієнт розсіяння:

.

При сильному магнітному зв’язку між контурами K→1, а σ→0.