3.9. Електричне коло синусоїдного струму з конденсатором

Розглянемо фізичні процеси в колі синусоїдного струму, яке має тільки ідеальний конденсатор (рис. 3.11).

Н ехай до ідеального конденсатора прикладена синусоїдальна напруга,

u=U_m sinωt, ψ_u=0.

За другим законом Кірхгофа маємо

u_c – u = 0, u_c = u.

Тоді миттєвий заряд на обкладинках конденсатора буде дорівнювати:

.

Через конденсатор протікатиме струм:

.

Початкова фаза струму ψ_і = π/2, тому в ідеальному конденсаторі струм випереджає напругу на його затискачах на 90⁰.

Зобразимо часові й векторні діаграми (рис. 3.12).

Амплітуда миттєвого струму дорівнює:

– закон Ома для амплітудних значень.

– закон Ома для діючих значень,

де: [Oм] – ємнісний опір конденсатора.

[См] – ємкісна провідність.

Для електричного кола з конденсатором закон Ома справедливий для амплітудних і діючих значень. Для миттєвих значень його застосовувати не можна, так як миттєві струм і напруга зсунуті по фазі.

Розглянемо енергетичні процеси в колі з ідеальним конденсатором.

Миттєва потужність:

,

де [вар, var] – реактивна потужність.

Отже, реактивна потужність змінюється за синусоїдним законом з подвійною кутовою частотою навколо осі абсцис (рис. 3.12).

Активна потужність:

Тобто, активна потужність ідеальним конденсатором не споживається.

Миттєва енергія:

.

Після підстановки значення напруги маємо:

.

Отже, миттєва енергія має постійну складову СU_c²/2 i змінну складову, яка змінюється по косинусоїді з подвійною кутовою частотою (рис. 3.12).

Із часових діаграм для u_c , p_c, w_c видно, що за першу і третю чверті періоду, коли напруга на конденсаторі збільшується від 0 до |U_m.с|, миттєва потужність додатна, а миттєва енергія збільшується. Це говорить про те, що конденсатор заряджається, енергія направлена від джерела до конденсатора і дорівнює

.

За другу й четверту чверті періоду, коли напруга на конденсаторі зменшується від |U_m.с| до 0, миттєва потужність від’ємна, а миттєва енергія зменшується. Це говорить про те, що конденсатор розряджається, енергія, накопичена в його електричному полі, повертається джерелу і дорівнює

.

Таким чином, у електричному колі з ідеальним конденсатором активна потужність не споживається, а відбувається періодичний обмін енергією між джерелом і конденсатором.

3.10. Розрахунок електричного кола синусоїдного струму з послідовним з'єднанням r, l, с

Нехай у колі з послідовним з'єднанням R, L, С (рис. 3.13) протікає синусоїдний струм:

i =I_m sinωt, ψ_i = 0.

Розглянемо фізичні процеси в колі та знайдемо u, φ, U, U_R, U_L, U_C.

За другим законом Кірхгофа:

u_R+u_L+u_C = u, (3.1)

або

Спершу знайдемо складові рівняння (3.1), а потім всю напругу u.

Для синусоїдального струму маємо:

u_R=Ri=R I_m sinωt=U_m.R sinωt.

.

.

Тут: U_m.R=RI_m, U_m.L=ωLI_m=X_L I_m, U_m.c=I_m /ωC=X_c I_m.

Або для діючих значень:

U_R=RI, U_L=ωLI=X_L I, U_c=I /ωC=X_c I.

Так як кожна складова рівняння (3.1) змінюється за синусоїдним законом, то і вся прикладена напруга u повинна бути синусоїдою наступного виду:

u=U_m sin(ωt+ ψ_u),

де невідомі U_m та ψ_u.

Для визначення U_m (або U) та ψ_u виразимо синусоїдні величини в рівнянні (3.1) векторами для діючих величин:

.

В відповідності с цим рівнянням побудуємо векторну діаграму напруг (рис. 3.14).

З а базисний вектор, відносно якого будемо будувати інші вектори, візьмемо вектор струму І, який протікає через всі елементи кола.

На векторній діаграмі напруг ΔОАВ називається трикутником напруг. Кожна з його сторін в масштабі відображають відповідні напруги.

ОВ→U_a=U_R=IR=Ucosφ= – активна напруга;

АВ→U_р=U_L-U_C=IX_L-IX_C=I(X_L-X_C) = =IX=Usinφ= – реактивна напруга,

де Х=X_L-X_C – реактивний опір кола;

ОА→U= –вхідна напруга,

де – повний опір кола.

Зсув фаз .

Щодо значення зсуву фаз можливі три випадки:

1. X_L >X_C (або в колі з R, L) φ>0 – коло носить індуктивних характер.

2. X_L<X_C (або в колі з R, C) φ < 0 – коло носить ємнісний характер.

3. X_L=X_C , φ = 0 – коло носить активний характер (резонанс напруг).

Визначивши з векторної діаграми U та φ, можна тепер записати вираз для шуканої прикладеної напруги u.

Так як U_m= , ψ_u= φ+ ψ_i= φ, (ψ_i=0),

то u= sin(ωt+ φ).

Якщо усі сторони трикутника напруг розділити на струм І, то отримаємо йому подібний трикутник опорів (рис. 3.15).

Т ут:

О'В' → R =

– активний опір,

А'В' → Х = – реактивний опір,

О'А' → Z = – повний опір кола,

– зсув фаз.

Якщо усі сторони трикутника напруг помножити на струм І, то отримаємо йому подібний трикутник потужностей (рис. 3.16).

Т ут:

О"В"→Р= [ват]– активна потужність,

А"В"→G= [ваp] – реактивна потужність,

О"А"→ S= – повна потужність,

– зсув фаз:

З усіх потужностей тільки активна потужність Р характеризує величину виконаної роботи за одиницю часу.

Відношення

називається коефіцієнтом потужності, воно характеризує повноту використання повної потужності кола S і має важливе техніко-економічне значення.