3.15. Застосування символічного методу для розрахунку кіл синусоїдного струму

Символічним методом називається метод розрахунку електричних кіл синусоїдного струму, оснований на представленні струму, напруги та ЕРС комплексними числами.

Цей метод дозволяє заміняти лінійні інтегро-диференційні рівняння, що описують синусоїдні кола, на алгебраїчні рівняння, а також застосовувати для розрахунку електричних кіл синусоїдного струму основні закони та методи розрахунку електричних кіл постійного струму в тій самій формі запису.

Розглянемо методику застосування символічного методу на прикладі електричного кола з послідовним з’єднанням R, L, C (рис. 3.27).

Н ехай: u=U_m sin(ωt+ψ_u ).

Визначимо: i=I_m sin(ωt+ψ_i ),

де I_m, ψ_i –?

За II законом Кірхгофа маємо:

u=u_R+u_L+u_c=iR+L (3.4)

З метою використання символічного методу перейдемо до зображень:

u = e^jωt, де = U_m e^jψu;

i = e^jωt, де = I_m e^jψi;

jω e^jωt, – похідна від синусоїдної функції заміняється добутком jω на її комплексне зображення;

e^jω, – інтеграл синусоїдної функції заміняється діленням на jω її комплексного зображення.

Підставимо одержані вирази у вихідне рівняння

.

Скоротимо обидві частини на e , одержимо:

. (3.5)

Звідси: – закон Ома в символічній формі,

де Z=

Таким чином, ми від вихідного інтегрально-диференційного рівняння (3.4) перейшли до алгебраїчного (3.5).

Запишемо вираз для комплексного струму в показниковій формі:

.

Комплексний струм – це комплексна величина, модуль якої дорівнює діючому синусоїдному струму, а аргумент дорівнює початковій фазі цього струму.

Знаючи комплексний струм в показниковій формі можна записати вираз для миттєвого струму

i=

3.16. Комплексний електричний опір та комплексна електрична провідність

Нехай відомі: , .

Візьмемо відношення

Враховуючи, що а , одержимо

– комплексний опір кола.

Запишемо комплексний опір в алгебраїчній, тригонометричній та показниковій формах:

Z= ;

При X>0 перед j стоїть знак “+”, – коло має індуктивний характер, при X<0 перед j стоїть знак “-”, – коло має ємнісний характер.

Знайдемо відношення

Враховуючи, що , а -( , одержимо:

– комплексна провідність.

Запишемо комплексну провідність в алгебраїчній, тригонометричній та показниковій формах:

Y= ;

При B > 0, перед j стоїть знак “-”, – коло має індуктивний характер, при B < 0, перед j стоїть знак “+”, – коло має ємнісний характер.

Для комплексних опору та провідності завжди виконується рівність:

, звідси:

3.17. Закони Ома і Кірхгофа в комплексній формі

Зображення синусоїдних функцій комплексними числами спрощує розрахунок синусоїдних кіл, так як дозволяє перейти від інтегро-диференційних рівнянь електричної рівноваги до алгебраїчних відносно зображень.

Наприклад, для послідовного з’єднання R, L, C:

.

Розрахувавши це рівняння ми знаходимо не оригінал, а зображення. При цьому можна використовувати всі методи розрахунку кіл постійного струму. Це ми доведемо, якщо виразимо закони Ома та Кірхгофа в комплексній формі.