§4.3. Оценка дальности полета вулканических бомб.

Опасность вулканических бомб заключается в том, что, обладая сравнительно большой массой, они движутся с большими скоростями, их падение на земную поверхность происходит, как правило, внезапно, неожиданно.

Для получения представления о характере движения таких бомб рассмотрим простейший случай движения тела, брошенного с некоторой начальной скоростью V₀ под углом к горизонту, без учета сопротивления воздуха. Так как значительная часть полета бомбы происходит на больших высотах с пониженным значением плотности воздуха, такое допущение представляется оправданным. Схема движения бомбы показана на рис.29.

Рис 29. Схема движения вулканической бомбы.

На этом рисунке центр (точка «0») системы координат x, y совмещен с кратером вулкана, Н – высота кратера, x_max – дальность полета бомбы.

Система уравнений движения бомбы и начальные условия ее полета могут быть представлены в виде

(4.1)

При интегрировании уравнений движения находим

(4.2)

(4.3)

Исключив время t из решения (4.3), получаем

(4.4)

Это уравнение параболы ОАВС, по которой движется тело; ее ось DA вертикальна. Скорость V во время полета составляет

(4.5)

Из соотношения (4.5) следует, что, находясь на подъеме ОА и при спуске АВ на одинаковой высоте y, тело обладает и одинаковой скоростью V.

Момент Т₁ достижения точки А (вершина параболы) находится при . Тогда из второго соотношения (4.2) следует

Представляя Т₁ вместо t в соотношении (4.3), находим высоту подъема h=DA и абсциссу =OD точки D.

(4.6)

Отсюда

при ; при (4.7)

Момент времени T₂, когда тело опустится в точку B, определится из условия

Отсюда

Из соотношения (4.5) следует, что в точке «В» скорость тела равна V₀, так как в этой точке y=0. Абсциссу L=OB можно вычислить, если подставить Т₂ вместо t в первое соотношение (4.3)

(4.8)

Максимальная величина L_* получается при то есть . Она составляет

_*= (4.9)

Соотношение (4.9) часто используют для оценки дальности полета вулканических бомб в приближенных расчетах, не требующих особой точности.

Более строго дальность полета можно определить, если учесть начальную высоту точки выброса бомбы, то есть высоту кратера вулкана. Подставив значение высоты y= –H в соотношение (4.4), получаем

(4.10)

Решение этого уравнения имеет вид

(4.11)

где с= – Н.

Пример. Оценить дальность полета вулканической бомбы, если начальная скорость составляет 300 м/с, угол выброса по отношению к горизонту 45⁰, высота кратера вулкана 1000м.

Решение. 1. Находим численные коэффициенты уравнения (4.11).

,

2. По соотношению (4.11) вычисляем дальность полета бомбы

Для сравнения: дальность полета бомбы рассчитанная по соотношению (4.9), составляет .