19.4. Расчёт зубчатых колёс на контактную прочность.

Расчёт ведётся для закрытых зубчатых передач, то есть передач, помещённых в герметичный корпус со смазывающей жидкостью. Исходной является формула Герца для расчёта контактных напряжений при контакте деталей по цилиндрическим поверхностям:

,

где q_n - давление, нормальное к поверхности зуба; - приведённый модуль упругости; - приведённый радиус кривизны; - коэффициент Пуассона.

Из накопленного опыта эксплуатации зубчатых передач следует, что наибольший износ поверхности зубьев происходит в зоне полюса зацепления. Рассмотрим расчётную схему, соответствующую этому случаю (рис. 22.3):

Обозначим M₂ момент сопротивления нагрузки. Вывод формулы расчёта σ_н произведём для случая, когда _, a_= a, r_r₁ и r_r₂. Контакт зубьев в полюсе зацепления можно рассматривать как контакт цилиндрических поверхностей, имеющих радиусы эвольвент в точке P _и _.

Подсчитаем _пр, выразив предварительно _ и _ через r₁, r₂ и:

_= r₁ ^. sin ;

_= r₂ ^. sin ;

.

Учитывая, что задано передаточное отношение, введём его в полученную формулу.

i₁₂ = __r_r_.

Заменим r₁ и r₂ на a и i₁₂. Решая их относительно r₁ и r₂, получаем:

; .

Учитывая полученные значения, можно выразить_пр:

.

Подставляем полученное значение в формулу Герца:

.

Заменяем нормальное давление q_n окружным q:

.

Заменим величину q через момент M₂:

,

тогда:

Введём в формулу коэффициенты:

Z_Н - коэффициент, учитывающий форму соприкасающихся поверхностей:

(при ^Z_Н = 1,77);

Z_м - коэффициент, учитывающий механические свойства материалов колёс:

,

Z_ξ - коэффициент, учитывающий влияние торцевого перекрытия зубьев (для приборов средней точности расчёта принимают Z_ξ ≈ 0,9).

Получим: .

Будем исходить из условия, что _Н ≤ [_Н], где [_Н] известно. Тогда получим:

.

Задаемся отношением ширины венца колеса к межосевому расстоянию, то есть _a=b/a, тогда получаем формулу, которую используют для проверочного расчёта:

.

Отсюда получаем формулу для определения межосевого расстояния, которая применяется при проектировочном расчёте:

19.5. Эвольвентные зубчатые передачи с внутренним зацеплением зубьев.

При таком зацеплении основные окружности колёс 1 и 2 расположены по одну сторону производящей прямой 3. Одна и та же точка производящей прямой воспроизводит обе эвольвенты. Причём точка полюса Р, находящаяся на пересечении производящей прямой и линии центров О₁О₂, находится вне отрезка зацепления N₁N₂. В передачах с внутренним зацеплением зубьев вращение обоих зубчатых колёс происходит в одну сторону. Достоинства внутреннего зацепления: сокращение габаритов, уменьшение контактных напряжений на поверхности зубьев из-за увеличения поверхности контакта зубьев (выпуклый эвольвентный профиль зуба 4 малого колеса контактирует с вогнутым профилем зуба 5 большего колеса).

Недостатком зацепления является невозможность нарезания колёс с внутренним расположением зубьев реечным инструментом (метод обкатки).