Билет № 14

1. Признаки параллелограмма.

2. Параллельный перенос. Определение, примеры.

Вопрос № 1 Признаки параллелограмма

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противопо­ложные стороны попарно параллельны.

На рисунке изображён параллелограмм ABCD: AB\\CD, AD\\BC.

Признаки параллелограмма

[Признак параллелограмма - «примета», условие, по которому можно уз­нать параллелограмм].

1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот че­тырёхугольник - параллелограмм.

2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

4. Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Докажем один из них. Теорема. Если в четырёхугольнике этот четырёхугольник - параллелограмм.

BC две стороны равны и параллельны, то

Дано: ABCD - четырёхугольник,

АВ \ \ CD, АВ = CD. Доказать: ACBD - параллелограмм.

/1 ^^ / Д<з /

A D

Доказательство

Проведём диагональ АС. Рассмотрим получившиеся D АВС и D CDA: АС - общая сторона; АВ = CD по условию теоремы; Z 1 = Z 2 как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС. Следовательно, D АВС = D CDA по I признаку равенства треуголь­ников (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому Z 3 = Z 4. Но Z 3 и Z 4 - накрест лежащие углы, образованные при пересече­нии прямых AD и ВС секущей АС, поэтому по признаку параллельности пря­мых AD ВС.

Получили, что в четырёхугольнике ABCD противолежащие стороны па­раллельны: AB\\CD по условию, AD\\BC по доказанному, значит четырёхуголь­ник ABCD - параллелограмм по определению.

Итак, если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Ч.т.д.

Вопрос № 2

Параллельный перенос, Определение, примеры

Пусть а - данный вектор.

Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоско­сти на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку M_i, что

вектор MM i равен вектору а.

Теорема. Параллельный перенос является движением, то есть отображе­нием плоскости на себя, сохраняющим расстояние.

М _i

\ Дано: а,М М_ь N N_x.

\ Доказать: MN = M_iN_i.

^^Ni

Доказательство

Рассмотрим общий случай, когда точки М и N не лежат на одной прямой. По условию теоремы при параллельном переносе на вектор а точки M и N

отображаются соответственно в точки М₁ и N_i, при этом ММi = а и NNi = а,

то есть ММi = NNi. Так как векторы ММi и NN 1равны, то ММ₁ \\ NN₁ и ММ₁ = NN₁.

Рассмотрим четырехугольник ММ^Ы^Ы, в нем ММ₁ \\ NN₁ и ММ₁ = NN₁, то есть в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, поэтому четырех­угольник ММ-iN-iN - параллелограмм по признаку параллелограмма.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, значит, MN = M₁N₁, следовательно, расстояние между точками М и N равно расстоянию между точ­ками M₁ и N₁.

Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние между точ­ками, а по определению отображение плоскости на себя, сохраняющее расстоя­ние, называется движением.

Итак, параллельный перенос является движением.

Ч.т.д.

Наглядно параллельный перенос можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора а на его длину.

1. Теорема Фалеса.

2. Осевая симметрия. Определение, примеры.