Вопрос № 1 Теорема синусов

Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоле­жащих углов.

B

Дано: D АВС, ВС = а, АС = b, AB = c.

rr a b c

Доказать:

sin A sinB sinC

Доказательство

По теореме о площади треугольника

S = — absinC , S =^— bcsinA , S =^— acsinB . 2 2 2

Из первых двух равенств получаем ^ absinC = ^ bcsinA,

asinC = csinA \ : (sin AsinC) Ф 0, asinC csinA a c

sin AsinC sinAsin C sin A sin C Точно так же из второго и третьего равенств получаем

^— acsinB = — bcsinA, asinB = bsinA \ : (sin AsinB ) Ф 0, 22

asinB bsinA a b sin AsinB sinAsinB sin A sinB

a c a b a b c Т ак как = и = , то

sin A sin C sin A sin B sin A sin B sin C Итак, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежа­щих углов.

Ч.т.д.

b C

Замечание. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

a b c

= 2 R,

sin A sin B sin C где R - радиус описанной окружности.

Вопрос № 2

Серединный перпендикуляр. Определение, свойство

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходя­щая через середину данного отрезка и перпендикулярна к нем. На рисунке 1 а - серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Рис. 1

а

а 1 АВ, АО = ОВ

+

Д—I • В

А

O

Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноуда­лена от концов этого отрезка (рис. 2). Рис. 2

а
/	\.М
	1 ,
• 1 O

В

Дано: а 1 АВ, а П АВ = АО = ОВ, Ме а. Доказать: АМ = МВ.

О,

А

Доказательство

Если точка М совпадает с точкой О, то АМ = МВ, так как АО = ОВ.

Пусть Ми О - различные точки. Рассмотрим D ОАМи D ОВМ. Они прямо­угольные, так как а 1 АВ. АО = ОВ по условию теоремы, ОМ - общая сторона. Следовательно, D ОАМ = D ОВМ по признаку равенства прямоугольных тре­угольников (по двум катетам).

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому АМ = МВ.

Итак, каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Ч.т.д.

Верна и обратная теорема.

Теорема. Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на се­рединном перпендикуляре к нему (рис. 3).

Дано: а П АВ = О, АО = ОВ,

точка N, АИ = ИВ. Доказать: Ne а, а 1 АВ.

Рис. 3

а
	п 1 ■'■■•
• 1 O

А

В

Доказательство

Если точка Ne АВ, то она совпадает с точкой О - серединой отрезка АВ и поэтому N e а.

Пусть N € АВ. Рассмотрим D ANB. Он равнобедренный, так как AN = NB. Отрезок NO - медиана D ANB, а следовательно, и высота, так как медиана рав­нобедренного треугольника, проведённая к основанию является и высотой.

Таким образом, NO L АВ, поэтому ON и а совпадают, и, значит, N e а.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому АМ = МВ.

Итак, каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на сере­динном перпендикуляре к нему.

Ч.т.д.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольни­ка - замечательная точка треугольника, так как она является центром окружно­сти, описанной около треугольника.

1. Теорема косинусов.

2. Биссектриса угла. Определение, свойство.