Площадь треугольника через радиус описанной окружности

_S abc s ⁼

4R

где а, b, с - стороны треугольника, R - радиус описанной окружности.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

S = rp,

р - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной окружности.

Билет № 11

1. Теорема об окружности, описанной около треугольника.

2. Тригонометрические тождества. Примеры, доказательства.

Вопрос № 1

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Если все вершины треугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника, а треугольник - вписанным в эту окружность.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.

Дано: D ABC.

Доказать: около D ABC можно описать окружность.

C

Доказательство

Рассмотрим произвольный D ABC. Проведём серединные перпендикуля­ры к сторонам треугольника, точку их пересечения обозначим буквой О. Со­единим точку О с вершинами A, B и C.

Так как точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин D ABC, то OA = ОВ = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, и значит, является описанной около D ABC.

Итак, около любого треугольника можно описать окружность, центром которой является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиусом - расстояние от центра окружности до любой верши­ны треугольника.

Ч.т.д.

Замечание 1. Около треугольника можно описать только одну окруж­ность.

Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудалён от вершин треугольника и, значит, совпадает с точкой О - точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам тре­угольника. Так как радиус каждой окружности равен расстоянию от точки О до вершин треугольника, то радиусы окружностей совпадают. Следовательно, эти окружности совпадают.

Замечание 2. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит внутри треугольника, если он остроугольный; вне треугольника, если он тупо­угольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный.

Вопрос № 2

С

Тригонометрические тожества. Примеры, доказательства

в

D АВС - прямоугольный, Z С - прямой,

ВС - катет, противолежащий углу a, АС - катет, прилежащий углу a.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отноше-

ВС

ние противолежащего катета к гипотенузе: sin а = ^в ■

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отно-

АС

шение прилежащего катета к гипотенузе: cos а = ав ■

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отно-

ВС

шение противолежащего катета к прилежащему катету: tga

АС

Разделим синус угла a на косинус угла a:

= tgа, т.е.

sin а ВС АС ВС АВ ВС

cos а АВ АВ АВ АС АС

cosa ф 0, т.к. a - острый угол.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется от-

АС

ношение прилежащего катета к противолежащему катету: ctgа =

ВС

Разделим косинус угла a на синус угла a:

^а, т.е.

cos а АС ВС АС АВ АС

sin а АВ АВ АВ ВС ВС

, sina ф 0, т.к. a - острый угол.

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы этих углов равны.

• 2 2 1

sin а + cos а = 1 - основное тригонометрическое тождество, докажем его для острого угла прямоугольного треугольника.

• 2 , 2 sin a + cos a =

v AB _y

^r BC^² (AC^² +

v AB _y

по теоремеПифагора

= 1, т.е.

AB

AB

BC ² AC ² BC ² + AC ² AB ² +

AB ² AB ²

sin² a + cos² a = 1

Умножим тангенс угла a на котангенс угла a:

= 1, т.е.

sin a cos a

tga • ctga =

cos a sin a

22 sin a cos a

2 ' 2 = 2 cos a cos a cos a

tga • ctga = 1 , cosa ф 0, sina ф 0, т.к. a - острый угол.

Из формулы tga • ctga = 1 непосредственно вытекают следующие формулы:

1		1
tga =		ctga = —
ctga		tga

Разделим левую и правую часть основного тригонометрического тожде­ства на cos²a ф 0:

sin²a + cos²a = 1 | : cos²a ф 0, 1

₂ ¹

22 sin a cos a

• 2 ' ~2 = • 2 sin a sin a sin a

1 + tg a =

cos ² a

Разделим левую и правую часть основного тригонометрического тожде-

ства на sin a ф 0:

sin²a + cos²a = 1 | : sin²a ф 0, 1

21

1 + ctg ² a =

sin² a

Билет № 12

1. Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

2. Формула площади трапеции. Запись, вывод.

3. Задача по теме «Геометрические преобразования».

Вопрос № 1

Теорема об окружности, вписанной в треугольник

Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник - описанным около этой окружности.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность. B

Дано: D ABC.

C

Доказать: в D ABC можно вписать окружность.

Доказательство

Рассмотрим произвольный D ABC. Проведём биссектрисы треугольника, точку их пересечения обозначим буквой О. Из точки О опустим перпендикуля­ры ОМ, OL и ОК соответственно к сторонам АВ, ВС и АС.

Так как каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон, то точка О равноудалена от сторон D ABC, т.е. ОМ = OL = ОК. По­этому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки М, L и К. Стороны треугольника D ABC касаются этой окружности в точках М, L и К, так как они перпендикулярны к радиусам ОМ, OL и ОК. Значит, окружность с цен­тром О радиуса ОК является вписанной в D ABC.

Итак, в любой треугольник можно вписать окружность, центром кото­рой будет точка пересечения биссектрис треугольника, а радиусами - перпен­дикуляры, опущенные из центра окружности к сторонам треугольника.

Ч.т.д.

Замечание. В треугольник можно вписать только одну окружность.

Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон треугольника и, значит, сов­падает с точкой О - точкой пересечения биссектрис треугольника. Радиус каж­дой окружности равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Так как из одной точки на прямую можно опустить только один перпендикуляр, то ра­диусы окружностей совпадают. Следовательно, эти окружности совпадают.