Вопрос № 1 Теорема Фалеса

Теорема. Если на одной из двух прямых отложить последовательно не­сколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пе­ресекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Дано: li, lf, А1,А2, А3, А4, ...е 1 АА = А2А3 = А3А4 = ...;

А1В1 || А2В2 || А3В3 || А₄В₄\\ Bi,В2, В3, В4, ...е 2

Доказать: В₁В₂ = В₂В₃ = В₃В₄ = ...

Доказательство

1. Рассмотрим случай, когда l₁|| l₂ (рис. 1).

Четырёхугольник А₁В₁А₂В₂ - параллелограмм по определению, так как А₁В₁ || А₂В₂ по условию теоремы, А₁А₂ || В₁В₂ как отрезки, лежащие на парал­лельных прямых l₁ и l₂. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому А₁А₂ = В₁В₂. Аналогично доказывается, что А₂А₃ = В₂В₃, А₃А₄ = В₃В₄ ; ... . А так как А₁А₂ = А₂А₃ = АА₄ = ..., то В₁В₂ = В₂В₃ = В₃В₄ = ... .

2. Рассмотрим случай, когда l₁ Л l₂ (рис. 2).

Через точку В₂ проведём прямую l || l₁, l П А₁В₁ = С, l П А₃В₃ = D.

Так как А₁А₂ = А₂А₃, то СВ₂ = B₂D по пункту I. Рассмотрим получившиеся D В₂В₁С и D В₂В^\ а) СВ₂ = В₂D по доказанному выше; б) ^ 1 = Z2 как верти­кальные углы; в) ^ 3 = Z 4 как накрест лежащие углы, образованные при пере­сечении параллельных прямых А₁В₁ и А₃В₃ секущей l.

Следовательно, D В₂В₁С = D В₂В₃D по II признаку равенства треугольни­ков (по стороне и прилежащим к ней углам).

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому В,В₂ = В₂В₃. Аналогично доказывается, что В₂В₃ = В₃В₄.

Итак, если на одной из двух прямых отложить последовательно несколь­ко равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересе­кающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Ч.т.д.

Вопрос № 2 Осевая симметрия. Определение, примеры

Если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной не­которой точке, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Примером отображения плоскости на себя является осевая симметрия.

Две точки А и Ai называются симметричными относительно прямой а,

если эта прямая проходит через середину A отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему.

Построение

1. а, А £ а;

2. АО 1 а; ОА П а = О;

3. ОА1 = ОА, ОА1 с ОА;

4. 

   А₁ - искомая.

Пусть прямая а - ось симметрии.

Возьмем произвольную точку А, не лежащую на прямой а, и построим симметричную ей точку А1 относительно прямой а.

Для этого проведем перпендикуляр АО к прямой а и отложим на прямой АО от точки О отрезок ОА₁ = АО.

Точка А₁ - искомая.

Если точка А лежит на прямой а, то симмет­ричная с ней точка А1 совпадает с точкой А.

Каждая точка прямой а считается симмет­ричной самой себе.

Рис. 2

Рис. 1

Мы видим, что с помощью осевой симметрии каждой точка А плоскости ставится в соответствие точка А1 этой же плоскости. При этом любая точка А1 оказывается сопоставленной некоторой точке А. Значит, осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.

Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят, что «фигура обладает осевой симметрией».