Вопрос № 2 Формула длины окружности. Запись, вывод

Представим, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Если ее разрезать в какой-нибудь точке А и распрямить ее, то получится отрезок АЛ], длина которого и будет длиной окружности (рис. 1).

A

Рис. 1

A,

Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближенным значением длины окружности. Чем больше число сто­рон такого многоугольника, тем точнее это приближенное значение, так как многоугольник при увеличении числа сторон все ближе и ближе «прилегает» к окружности (рис. 2).

Рис. 2

Точное значение длины окружности - это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неогра­ниченном увеличении числа его сторон.

Выведем формулу, выражающую длину окружности через ее радиус. Пусть С и С^/ - длины окружностей радиусов R и Rj. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через P_n и P^/_n их периметры, а через a_n и

a^/_n их стороны. Используя формулу для нахождения стороны правильного мно-

180°

гоугольника через радиус описанной окружности a_n = 2 Rsin¹^-, получаем: P_n = n ■ a_n = n ■ 2R sin^, Р'_п = n ■ a'_n = n ■ 2R'sin^.

nn

_P n ■ 2R sin i⁸^ 2_R

Следовательно, —ⁿ = = , отсюда

P_n n ■ 2R' sin i⁸⁰- 2R'

n

(1)

Pn

Pn 2 R

2 R'

Это равенство справедливо при любом значении n. Будем неограниченно увеличивать число n.

^Р n ^C

При n ® ¥ P_n® С, Р'п® С', поэтому предел отношения —ⁿ равен —_г.

р С

n

2R

С другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен . Таким образом,

2R'

С 2R ^ С С'

— = . По свойству пропорции — = , т.е. отношение длины окружно-

С' 2R' 2 R 2R'

сти к ее радиусу есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой p (читается «пи»).

С

Из равенства — = п получаем формулу для вычисления длины окружно- 2R

сти радиуса R:

С = 2pR.

Так как D = 2R, то получаем формулу для вычисления длины окружности диаметра D:

С = pD.

Замечание. Доказано, что p является бесконечной непериодической деся-

22

тичной дробью, т.е. иррациональным числом. Рациональное число — является

приближенным значением числа p с точностью до 0,002. Это приближенное значение было найдено еще в III в. до н.э. великим греческим ученым Архиме­дом. Ири решении задач обычно пользуются приближенным значением p с точностью до 0,01: p » 3,14.

Билет № 7

1. Теорема о соотношениях между сторонами и углами тре­угольника.

2. Формула для радиуса окружности, описанной около правиль­ного «-угольника. Запись, вывод.

Вопрос № 1

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Теорема. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; и наоборот, 2) против большего угла лежит большая сторона.

Сначала докажем, что против большей стороны лежит больший угол.

B

Дано: D АВС, АВ > ВС. Доказать: АС > АА.

C

Доказательство

На стороне АВ отложим отрезок BD = BC. Так как ВС < АВ, то и BD < AB, поэтому точка D лежит между точками А и В. Следовательно, А1 является ча­стью А С D АВС. Значит, АС > А1.

Так как А2 - внешний угол D АDС при вершине D, то А2 > АА, потому что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Так как ВС = ВD по построению, то D ВСD равнобедренный, поэтому А1 = А2 как углы при основании равнобедренного D ВСD.

Получили. что, АС > А1, А1 = А2, А2 > АА, значит, АС > АА. Итак, в треугольнике: против большей стороны лежит больший угол.

Теперь докажем, что против большего угла лежит большая сторона. Дано: D АВС, АС > АА. Доказать: АВ > ВС.

Доказательство (методом от противного)

1. Предположим, что АВ > ВС - неверно. Тогда либо АВ = ВС, либо АВ <

ВС.

2. Если АВ = ВС, то D АВС - равнобедренный и, значит, АС = АА. Если АВ < ВС, то АС < АА по доказанному выше.

Получили, что АС = АА или АС < АА. И то, и другое противоречит усло­вию теоремы, что АС > АА.

3. Получили противоречие с условием теоремы. Значит предположение, что АВ > ВС - неверно было неверным, значит АВ > ВС.

Итак, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом: в тре­угольнике против меньшей стороны лежит меньший угол; и наоборот, против меньшего угла лежит меньшая сторона.

Следствия

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (при­знак равнобедренного треугольника).