Билет № 24

1. Скалярное произведение двух векторов. Определение, свой­ства.

2. Вертикальные углы. Определение, свойство.

Вопрос № 2 Вертикальные углы. Определение, свойство

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов: Z1 и Z3, Z 2 и Z 4.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Дано: Z 1 и Z 2 - вертикальные углы. Доказать: Z1 = Z2.

Доказательство

Z 3 является смежным и с Z 1, и с Z 2. Сумма смежных углов равна 180°, поэтому Z1 + Z 3 = 180^о, Z2 + Z 3 = 180^о. Отсюда получаем, что Z1 = 180^о -Z 3, Z 2 = 180^о - Z 3. Правые части равенств равны, значит, равны и левые. Сле­довательно, Z 1 = Z 2.

Итак, вертикальные углы равны.

Ч.т.д.

Вопрос № 2 Скалярное произведение двух векторов. Определение, свойства

a

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

Л

соб (a b).

Если аLb, то есть a b = 90°, то cos (a b) = 0, поэтому а • b = 0. И обратно: если а • b и векторы а и b ненулевые, то cos (a b) = 0, поэто­му a b = 90°, то есть а L b.

Таким образом, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

а • b

—
а

Пусть а и b - ненулевые векторы, тогда, если: a b - острый, т.е. a b < 90°, то cos (a b) > 0, поэтому а • b> 0; a b - тупой, т.е. a b > 90°, то cos (a b) < 0, поэтому а • b< 0;

b ;

а tt b, т.е. a b = 0°, то cos (a b) = 1, поэтому а • b а t^ b, т.е. a b = 180°, то cos (a b) = - 1, поэтому а • b

а

Скалярное произведение а • а называется скалярным квадратом вектора

2

а. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины a • a =

Теорема. Скалярное произведение векторов а {х₁; у₁} и b {х₂; у₂} выражает­ся формулой а • b = х₁ х₂ + у₁ у₂.

B

Дано: а {xi; yi}, b {Х2; У2}.

Доказать: а • b = х₁ х₂ + у₁ у₂.

Доказательство

Если хотя бы один из векторов а и b нулевой, то справедливость равенст­ва а • b = х₁ х₂ + у₁ у₂ очевидна, так как координаты нулевого вектора равны нулю.

Пусть векторы а и b ненулевые.

Отложим от произвольной точки О векторы ОА = а и ОВ = b . Если векто­ры а и b не коллинеарны, то по теореме косинусов

АВ¹ = ОА² + ОВ² - 2ОА • ОВ ^s a. (1)

а

Это равенство верно и в том случае, когда векторы а и b коллинеарны.

B

O

A

cosa = 1

а

АВ² = (ОА - ОВ)² = ОА² + ОВ² - 2ОА • ОВ = = ОА² + ОВ² - 2ОА • ОВ ^s a.

b

A

B

O

cosa = - 1

АВ² = (ОА +ОВ)² = ОА² + ОВ² + 2ОА • ОВ = = ОА² + ОВ² - 2ОА • ОВ ^s a.

Так как АВ = b - a, ОА = а, ОВ = b, то равенство (1) можно записать так:

	2			2
b - a		=	a	+	b

2 —— - 2 ab,

2ab =

ab = — 2

		2				2					2
a		+		b		-		b - a			,
f			2				2			2 \
	a		+		b		-		b - a
V										0

(2)

Так как а {х—; у—}, b {.х2; У2}, b - a {Х2 - х—; У2 - yi}, то

22 = х— + у— ,

22 = Х2 + У2 ,

b - a

а

22 = (Х2 - X—) + (У2 - У—) .

Подставив эти выражения в правую часть равенства (2), получим а ■ b =2 (х—² + у—² + X—² + У2² - (X2 - X—)² + (У2 - у—)²) =

= 2 ( х—² + у—² + х2² + У2² - х2² + 2х— х2 - х—²- У2²+ 2у— У2- У—²) =

= 2 ■ 2(х— х2 + у— У2) = х— х2 + У— У2.

Итак, скалярное произведение векторов а {х_—; у_—} и b {х₂; у₂} выража­ется формулой а ■ b = х_— х₂ + у_— у₂.

Ч.т.д.

Следствие 1. Ненулевые векторы а {х_—; у_—} и b {х₂; у₂} перпендикулярны тогда и только тогда, когда х_— х₂ + у_— у₂ = 0.

Следствие 2. Косинус угла a между ненулевыми векторами а {х_—; у_—} и b {х₂; у₂} выражается формулой

, а второе

а

Первое свойство непосредственно следует из формулы a ■ a свойство - из определения скалярного произведения.

X^Х2 + У—У 2

соб a=

2 2 2 2 + У— W ^x2 + У 2

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых векторов а, b, с и любого числа к справедливы соотношения: —•2 ->2 — —) а > 0, причем а > 0 при а ф 0.

2. а ■ b = b ■ a (переместительный закон).

3. (a + b)■ c = a ■ c + b ■ c (распределительный закон).

4. (ka )■ b = к (a ■ b ) (сочетательный закон).

Доказательство

Докажем третье свойство. Введем прямоугольную систему координат и обозначим координаты векторов а, b, с так: а [ху, у₁}, b {х₂; у₂}, с {х₃; у₃}. Ис­пользуя формулу а • b = х\ х₂ + у\ у₂. получаем

(а + b)• c = а • c + b • c = (xi + х₂) х₃ + (у₁ + у₂) у₃ =

(Х1Х3 + у1 уз) + (Х2Х3 + у2уз) = а • c + b • c.

Замечание. Распределительный закон справедлив для любого числа сла­гаемых.

Докажем четвертое свойство. Вектор ka имеет координаты {кх₁; ку₁}, по­этому (ka )• b = (кх₁)х₂ + (ку₁)у₂ = к(х₁ х₂ + у₁ у₂) = к (а • b).

Ч.т.д.