Билет № 20

1. Второй признак подобия треугольников.

2. Построение биссектрисы данного угла.

Вопрос № 1 Второй признак подобия треугольников

ав

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

ас

Дано: D АВС и D А_]В_]С_], ZА = ZАх,

ав ас

Доказать: D АВС ~ D А_]В_]С_] .

C

B

В]

С

с₂

Доказательство

Чтобы доказать, что треугольники подобны, достаточно доказать, что Z В = Z В_], тогда согласно I признаку подобия D АВС будет подобен D А]В]С_] по двум углам: Z А = ZА_] по условию теоремы , а Z В = ZВ_] по дока­занному.

Рассмотрим D АВС₂, у которого Z 1 = ZА_], Z2 = ZВ_], тогда D АВС₂ ~ D А_]В_]С_] по I признаку подобия треугольников (по двум углам).

В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны,

, тогда АС =АС₂.

поэтому

А1В1 А1С1 Рассмотрим D АВС и D АВС₂:

11

АВ АС₂ АВ АС

, а по условию теоремы

А₁В₁ А₁С

а) АВ - общая сторона;

б) АС = АС₂ по доказанному выше;

в) Z А = Z ], так как Z А =Z А_], Z А_] = Z ]. аАВС МВС

Следовательно, D АВС = D АВС₂ по I признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэто­му Z В = Z 2 , а так как Z 2 = Z В_j, то ZB = ZB1.

МВС МВС₂ ^МВС

Получили, что в D АВС и D А₁В₁С₁ ZА = ZA_j и Z В = ZВ_j, поэтому по I признаку подобия треугольников D АВС ~ D А₁В₁С₁.

Итак, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Ч.т.д.

Вопрос № 2 Построение биссектрисы данного угла

Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и деля­щий его на два равных угла.

Дано: ZAВС.

Построить: биссектрису ZAВС.

Построение

Проведем окружность с центром в вершине В и произвольным радиусом. Она пресекает стороны угла в точках М и N. Затем проведем две окружности с центрами в точках М и N и тем же радиусом. Точку пересечения этих окружно­стей обозначим D. Проведем луч BD. Этот луч и будет являться биссектрисой

ZAВС.

1. ю(В; r), r - произвольный радиус; ю(В; r) П ВС = М; ю(В; r) П ВА = N;

2. w(M; r), w(N; r); w(M; r) П w(N; r) = D;

3. луч BD - биссектриса ZAВС.

Доказательство

Соединим точку D с точками М и N. Рассмотрим получившиеся треугольники ВND и ВMD. BN = BM как радиусы одной и той же окружности, ND = MD по построе­нию, BD - общая сторона.

Следовательно, D BND и D BMD по III признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому Z1 = Z2, то есть BD - биссектриса данного ZABC.

Ч.т.д.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Замечание. Данный угол можно разделить с помощью циркуля и линейки также на четыре (восемь, шестнадцать...) равных угла. Для этого нужно разде­лить его пополам, а затем каждую половину разделить еще раз пополам...

А вот разделить данный угол с помощью циркуля и линейки на три равных угла нельзя. Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла, в те­чение многих веков привлекала внимание математиков. Лишь в позапрошлом веке было доказано, что для произвольного угла такое деление невозможно.