Билет № 2
Второй признак равенства треугольников.
Прямоугольник. Определение, свойства.
Вопрос № 1 Второй признак равенства треугольников
По стороне и прилежащим к ней углам Теорема. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
С
C
1
B,
Доказательство
Наложим D АВС на D А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, сторона АВ - с равной ей стороной А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1.
Так как ^ А = ^ А1 и ^ В = ^ В1, то сторона АС наложится на луч А1С1, а сторона ВС - на луч В1С1. Поэтому вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей и на луче А1С1, и на луче В1С1 и, следовательно, совместиться с общей точкой этих лучей - вершиной С1. Поэтому совместятся стороны АС и А1С1, ВС и В1С1. D АВС и D А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.
Итак, если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Ч.т.д.
Вопрос № 2 Прямоугольник. Определение и свойства
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.
Вс
ABCD - прямоугольник
АВ || CD, ВС || AD АВ = CD, ВС = AD Z А = Z В = Z С = Z D = 90о АО = ОС, ВО = OD
А D
С
В
Доказать: АС = BD.
Доказательство
Рассмотрим прямоугольные треугольники ACD и DBA: а) АВ = CD как противолежащие стороны прямоугольника; б) AD - общая сторона. Следовательно, D ACD = D DBA по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам).
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому
АС = BD.
Итак, диагонали прямоугольника равны.
Ч.т.д.
Признаки прямоугольника
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.
Если в параллелограмме все углы равны, то он является прямоугольником.
Если в параллелограмме один из углов прямой, то он является прямоугольником.
Если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник является прямоугольником.
Третий признак равенства треугольников.
Ромб. Определение, свойства.
Вопрос № 2 Ромб. Определение, свойства
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.
С
ABCD - ромб АВ || CD, ВС || AD АВ = CD = ВС = AD Z А = Z С, Z В = Z D АО = ОС, ВО = OD
Особым свойством ромба является свойство его диагоналей. Теорема. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. в
1 |
|
V |
O / |
А
С
D
Дано:
ABCD - ромб,
АС
и
BD
- диагонали,
АС
П
BD
=
О.
Доказать:
АС ± BD,
Z1
= Z 2.
Доказательство
В ромбе все стороны равны, поэтому АВ = AD, а D ABD - равнобедренный. Так как ромб - это параллелограмм, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам и ВО = ОD. Значит, АО - медиана равнобедренного D ABD. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой, следовательно, Z 1 = Z 2 и АС ± BD.
АС ± BD, значит, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Z 1 = Z 2, значит, АС - биссектриса Z А ромба ABCD.
Аналогично доказывается, что диагонали являются биссектрисами остальных углов ромба.
Итак, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Вопрос № 1 Третий признак равенства треугольников
По трём сторонам Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Рис. 1
С
i
Дано:
D
АВС,
D
А;В;С;, B; АВ
= А;В
АС
= А;С ВС = В;С;. Доказать:
D
АВС =
D
А;В;С;.
Доказательство
Наложим D АВС на D А;В;С; так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А;, вершина В - с вершиной В;, а вершины С и С; оказались по разные стороны от прямой А;В; (рис. 2). Возможны три случая: Рис. 2
В;(
В )
C
б)
луч
СС;
совпадает с одной из сторон ^
А1С1В1;
А;
(А )
В;
( В ) А;( А )
C
а)
луч
СС;
проходит внутри ^
А1С1В1;
В;(
В )
C
в)
луч
СС;
проходит вне ^
А1С1В;.
Рассмотрим случай, когда луч СС; проходит внутри ^ А;С;В; (рис. 2, а), остальные случаи доказываются аналогично.
По условию теоремы АС=А;С;, ВС = В;С;, поэтому D А;С;С и D В;С;С - равнобедренные по определению равнобедренных треугольников. По теореме о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника ^ 1= ^ 2, ^ 3 = ^ 4, поэтому ^ 1 + Z 3 = ^ 2 + ^ 4, то есть Z C = Z C1.
ЛАВС АА1В1С1
Получили, что АС = А;С;, ВС = В1С1 - по условию теоремы, ^ С = ^С; по доказанному, следовательно, D АВС = D А;В;С; по I признаку равенства треугольников, по двум сторонам и углу между ними.
Итак, если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Билет № 4
Признаки параллельности двух прямых.
Окружность. Определение, взаимное расположение прямой и окружности.
Вопрос № 1 Параллельные прямые.
Признаки параллельности прямых
Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Любая прямая считается параллельной самой себе. Для обозначения параллельности прямых используется символ ||, например, а || b.
Сформулируем и докажем признаки параллельности двух прямых, связанные с углами, образованными при пересечении двух прямых секущей.
Признаки параллельности двух прямых
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180о, то прямые параллельны.
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
a
H
A
b
a |
A |
|
|
|
J 1 |
b |
2г |
|
|
B |
|
H i
а) б) в)
Дано: прямые а и b, АВ - секущая,
^ 1 и ^ 2 - накрест лежащие углы, ^ 1 = Z2 (рис. 1, а). Доказать: а || b.