Билет № 21

1. Третий признак подобия треугольников.

2. Построение угла, равного данному.

Вопрос № 1 Третий признак подобия треугольников

Теорема. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

ВС АС

11

Дано: D АВС и D А1ВС1, ^{АВ ВС АС}

А1В1

B

Доказать: D АВС ~ D АВС!.

C

С,

B,

С 2

Доказательство

Чтобы доказать, что треугольники подобны, достаточно доказать, что ^ А = ZА₁, тогда согласно II признаку подобия D АВС будет подобен D А₁В₁С₁.

Рассмотрим D АВС₂, у которого ^ 1 = ^А,, Z2 = Z В₁, тогда D АВС₂ ~ D А₁В₁С₁ по I признаку подобия треугольников (по двум углам).

поэтому-

то-

11

11

В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны, АВ ВС2 АС2 АВ ВС АС

, а по условию теоремы

А₁В₁ ВС АС

А₁В₁ В₁С₁ А₁С₁ гда ВС = ВС 2, АС= АС 2.

Рассмотрим D АВС и D АВС₂:

а) АВ - общая сторона;

б) ВС=ВС₂ по доказанному выше;

в) АС=АС₂ по доказанному выше.

Следовательно, D АВС = D АВС₂ по III признаку равенства треугольников (по трём сторонам). В равных треугольниках соответствующие элементы рав­ны, поэтому Z А = Z1 , а так как ^ 1 =ZА₁, то ^ А = ZА₁. аАВС МВС₂

Получили, что в D АВС и D А₁В₁С₁ = , Z А = ZAi, поэтому по II

А_ХВ_Х ^А₁С\

признаку подобия треугольников D АВС ~ D A_iB_iC_l.

Итак, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сто­ронам другого, то такие треугольники подобны.

Ч.т.д.

Вопрос № 2 Построение угла, равного данному

Дано: ZABC.

Построить: ZA\B\C\ = ZABC.

Построение

Проведем луч BCi. Построим окружность с центром в вершине В и произ­вольным радиусом r. Она пресекает стороны ZABC в точках М и N. Затем про­ведем окружность с центром в начале луча В₁С₁ и тем же радиусом. Она пере­секает луч В₁С₁ в точке М₁. После этого построим окружность с центром в точ­ке М₁, радиус которой равен MN. Окружности с центрами В₁ и М₁ пересекаются в двух точках, одну из которых обозначим N₁. Проведем луч B₁N₁ и возьмем на нем точку А₁. ZA₁B₁C₁ - искомый.

1. луч В1С1;

2. w(B; r), r - произвольный радиус; w(B; r) П ВС = М; w(B; r) П BA = N;

3. ю(Вь r); w( B1; r) П В1С1 = М1;

4. ы(М\; MN); ®(М\; MN) П ю(Вь r) = N1;

5. луч B₁N₁, точка А₁ e B₁N₁; ZА₁В₁C₁ - искомый.

Доказательство

Проведем отрезки MN и M\N\.

Рассмотрим получившиеся треугольники BNM и B\N\M\.

BN = BM как радиусы окружности с центром В. B\N\ = В\М\ как радиусы окружности с центром В\. Так как по построению эти окружности имеют рав­ные радиусы, то BN = B\N\, BM = B\M\. Также по построению MN =M\N\.

Следовательно, D BNM и D B\N\M\. по III признаку равенства треугольни­ков (по трем сторонам). В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому ZN\B\M\ = ZNBM, отсюда ZA\B\C\ = ZABC.

Ч.т.д.

Исследование. Задача имеет единственное решение.