Билет № 19

1. Первый признак подобия треугольников.

2. Построение середины данного отрезка.

Вопрос № 1 Первый признак подобия треугольников

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Дано: D АВС и D АВС,, ZА =Z А,, Z В =ZВ,.

Доказать: D АВС ~ D АВС,.

C

B

B,

^С,

Доказательство

Чтобы доказать, что треугольники подобны, нужно доказать, что их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны. По теореме о сумме углов треугольника ZC =180 ^о- (ZА+ZВ), ZCi =180 ^о - (ZА, + ZВ,). Так как по условию теоремы Z А =ZА,, ZВ =ZВ,, то Z С =Z С,. Таким обра­зом, углы D АВС соответственно равны углам D А,В,С,.

Докажем, что соответствующие стороны D АВС и D А,В,С, пропорцио­нальны. Известно, что если угол одного треугольника равен углу другого тре­угольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы, поэтому так как Z А =ZА, и ZC = ZC, , то

Билет № 2 1

Билет № 4 8

Билет № 5 13

Билет № 6 16

Билет № 7 20

Билет № 9 30

Билет № 10 33

2mN = (MB+MA)+ (BC + ~AD)+ (CN + DN ). 33

Билет № 11 39

Билет № 12 42

Билет № 14 17

Дано: li, lf, А1,А2, А3, А4, ...е 1 АА = А2А3 = А3А4 = ...; 15

Билет № 19 20

^С, 20

Билет № 20 55

Билет № 21 58

Билет № 22 61

Билет № 23 68

Билет № 24 73

АС ■ АВ ВА ■ ВС ВС АС

А_ХС_Х ■ А₁В₄ В^А ■ ВС ВС А_ХС_Х Получили, что сходственные стороны D АВС и D А]В]С_] пропорциональ-

АВ ВС АС

ны, так как = = .

А_ХВ_Х В_ХС_Х А_ХС_Х

Таким образом, в D АВС и D А_]В_]С_] углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны, следовательно, по определению

D АВС ~ D А_]В_]С_].

Итак, если два угла одного треугольника соответственно равны двум уг­лам другого, то такие треугольники подобны.

Ч.т.д.

Следствие. Два равносторонних треугольника подобны.

Вопрос № 2 Построение середины данного отрезка

Серединой отрезка называется точка, делящая его пополам, то есть на два равных отрезка.

Дано: отрезок АВ.

Построить: точку О так, что АО = ОВ.

Построение

Построим две окружности с центрами А и В произвольного радиуса r >2АВ. Они пресекаются в точках С и С₁. Проведем прямую СС₁. Точка О пе­ресечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка.

BA

C

X.

C

О

••

BA

••

BA

A

X

С,

>К

^С,

²⁾ _И^{(А; r)}, ш^{(В; r)}, ^r >iАВ\ _Ю^{(А; r)} П ш^{(В; r)} = С^{; С}1^;

2) прямая СС\; СС₂ П АВ = О; О - середина отрезка АВ.

Доказательство

Рассмотрим D САС₂ и D СВС₂.

АС = АС1 как радиусы окружности с центром А, ВС = ВС1 как радиусы ок­ружности с центром В, СС₂ - общая сторона.

Следовательно, D САС₂ = D СВС₂ по III признаку равенства треугольников (по трем сторонам). В равных треугольниках соответствующие элементы рав­ны, поэтому Z1 = Z2.

Z1 = Z2, поэтому СО - биссектриса равнобедренного треугольника АСВ. Так как в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является и медианой, то точка О - середина отрезка АВ.

Исследование. Задача имеет единственное решение.