Вопрос 2 Формула для радиуса окружности, описанной около правильного w-угольника. Запись, вывод

^ Дано: А₁А₂А₃...А_п - правильный n-угольник,

A3	\R
/ r

n

АА = А2А3 = ... = An - 1 An = an, w(0; R) описана около n-угольника, w(O; r) вписана в n-угольник.

Выразить: 1) R через r; 2) R через a_n.

a₂

Решение

Соединим точку О с вершинами А₁ и А₂ n-угольника А₁А₂А₃...А_п. В полу­чившемся D А₁ОА₂ проведем высоту ОН₁ = r.

Так как ОА₁ = ОА₂ = R, то D А₁ОА₂ - равнобедренный, а высота ОН₁ явля-

Билет № 2 1

Билет № 4 8

Билет № 5 13

Билет № 6 16

Билет № 7 20

Билет № 9 30

Билет № 10 33

2mN = (MB+MA)+ (BC + ~AD)+ (CN + DN ). 33

Билет № 11 39

Билет № 12 42

Билет № 14 17

Дано: li, lf, А1,А2, А3, А4, ...е 1 АА = А2А3 = А3А4 = ...; 15

Билет № 19 20

^С, 20

Билет № 20 55

Билет № 21 58

Билет № 22 61

Билет № 23 68

Билет № 24 73

Так как ОН₁ - высота по построению, то D А₁ОН₁ - прямоугольный.

В D А₁ОН₁

r

— ^ R

OH1 180°

n

1

cos ZA1OH1 = ; cos-

OA

^a_n ^a_n

~2 180° ~2

—; sin = — ^

R n R

A1H1 OAi

sin ZA₁OH₁ =

т.е.

180° n

180° n

; R =

n

r

sin

2 sin

180° n

180° n

a

R=

n

a

^an

2 sin

Ответ: R =

cos

Если n = 3, то R3 Если n = 4, то R4

Если n = 6, то Rg =

r r

r

r

— = 2r.

_coscos60° 1

r

-42.

_cos 180° cos 45° V2

r

r r 2rV3

r

_cos 180° = cos 30° " 73 = 3 ' 6 2

V3

а

a

a a

Если n = 3, то R₃ =

2 sin ¹⁸0° 2 sin 60° _{2 m}J3 3 ³ 2

aa

Если n = 4, то R₄ =

2 sin ¹⁸0° 2 sin 45° ₂ 2

V2

а

a

4 ² 2

а

a

Если n = 6, то R₆

а.

a

2 sin ¹80° 2 sin 30° 2 • 2 62

R

cos

r

180° n

a

n

R=

2 sin ¹⁸⁰° n

1. Теорема о соотношении между сторонами треугольника (не­равенство треугольника).

2. Формула для радиуса окружности, вписанной в правильный «-угольник. Запись, вывод.

Вопрос № 1

Теорема о соотношении между сторонами треугольника (неравенство треугольника)

Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. B

Дано . D АВС.

Доказать: АВ < АС + СВ

(АС < АВ + ВС, ВС < АВ + АС).

Доказательство

Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD = CB. Рассмотрим D ВСD. Так как CD = CB по построению, то D ВСD - равно­бедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, по­этому Z1 = Z2.

Рассмотрим D АВD. В нем Z1 < ZАВD, а так как Z1 = Z2, то Z2 < ZАВD. В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона, поэтому АВ < AD. AD = АC + СD, а так как CD = CB, то AD = АC + СВ. Следовательно,

АВ < АС + СВ.

Аналогично доказывается, что АС < АВ + ВС, ВС < АВ + АС.

Итак, каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Ч.т.д.

Следствие. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства.

АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < АВ + АС.

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника. Если все точки А, В и С различны и лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими. В этих случаях выполняются равенства:

C ■ D

АВ = АС + СВ, АС = АВ + ВС, ВС = АВ + АС.

Следовательно, каковы бы ни были три точки, расстояние между двумя из этих точек не больше (меньше или равно) суммы расстояний от них до третьей точки, то есть

АВ £ АС + СВ, АС £ АВ + ВС, ВС £ АВ + АС.

Вопрос № 2

A₃

и

Формула для радиуса окружности, вписанной в правильный w-угольника. Запись, вывод

Дано: А\А₂А₃...А_п - правильный и-угольник, А1А2 = А2А3 = ... = Аи- \ Аи = аи, w(0; R) описана около и-угольника, w(O; г) вписана в и-угольник. Выразить: 1) г через R; 2) г через а_п.

Решение

Соединим точку О с вершинами А\ и А₂ и-угольника А\А₂А₃...А_и. В полу­чившемся D А\ОА₂ проведем высоту ОН\ = г.

Так как ОА\ = ОА₂ = R, то D А\ОА₂ - равнобедренный, а высота ОН\

Билет № 2 1

Билет № 4 8

Билет № 5 13

Билет № 6 16

Билет № 7 20

Билет № 9 30

Билет № 10 33

2mN = (MB+MA)+ (BC + ~AD)+ (CN + DN ). 33

Билет № 11 39

Билет № 12 42

Билет № 14 17

Дано: li, lf, А1,А2, А3, А4, ...е 1 АА = А2А3 = А3А4 = ...; 15

Билет № 19 20

^С, 20

Билет № 20 55

Билет № 21 58

Билет № 22 61

Билет № 23 68

Билет № 24 73

Так как ОН\ - высота по построению, то D А\ОН\ - прямоугольный. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, поэтому

АН\А\О = 90° - /А\ОН\ = 90° -

\80°

и

; sw(90°- \⁸^)=

г

\

R

\

OH

В D А\ОН\ sm ZH\ A\O =

OA

Используя формулу приведения sm (90° -a) = cos a, получаем, что г

\80°

cos Ш° = — ^

г = R cos

и

и

R

!80^с и

и

г

tg

\

A\ H\

В DА\ОН\ tgZA\OH\ tg= ^г =

OH

а

\80° и

и

Ответ: г = R cos

г=

\80° и

2tg

180°

80 6

Rcos45° = R ^ = ML 2 2

= _R V3 = R/3 2 2 '

Если n = 3, то r₃ = Rcos = Rcos60° = R ■ 2 = R

Если n = 4, то Г4 = R cos

Если n = 6, то Гб = R cos i⁸⁰- = R cos 30° = R ■ ^ =

Vs

a

a

Если n = 3, то r₃

a a

2tg Ч^0- 2tg 60° 2V3 6 ■

a

a

aa

180°

2tg45° 2 ■ 1 2

4

Если n = 4, то r₄ =

2tg

3a aV3

a

a

a

Если n = 6, то r₆ =

2tg ^ 2tg 30° 2V3 2л/3 2 ⁶ 3

r = Rcos ^ ^ n

; r =

2tg

a

n

180° n