Дисперсия случайной величины
Дисперсия случайной величины является мерой разброса (рассеяния) значений этой случайной величины, вокруг ее математического ожидания. Рассмотрим геометрическую схему:
Очевидно, что D(X) < D(Y).
Для дискретной случайной величины Х дисперсия определяется и вычисляется по формуле:
D(Х) = х12 р1 + х22 р2 + ... + хn2 рn – М 2(Х) =
= 
= 
.
(3)
Для вычисления дисперсии достаточно знать закон распределения случайной величины, используя уже найденное значение математического ожидания случайной величины Х.
Пример 1. Найдем дисперсию случайной величины Х – значения грани, выпавшей на кубике. Используя построенный ранее закон распределения этой случайной величины, получаем:
D(Х) = 1/6 + 4/6 + 9/6 + 16/6 + 25/6 + 36/6 – 3.52 = 91/6 – 12.25 15.17–12.25 = 2.92.
Пример 2. Найдем дисперсию случайной величины Z, возникающей при подбрасывании двух монет, равной числу выпавших гербов.
D(Z) = 0∙1/4 + 1∙1/2 + 4∙1/4 – 12 = 1/2.
Свойства дисперсии
1. D(X) ≥ 0.
2. D(const) = 0.
3. D(СХ) = С2 D(Х).
Эти три свойства доказываются по определению (3).
4. Пусть случайные величины Х и Y – независимы. Тогда
D(Х + Y) = D(Х) + D(Y).
Пример. Пусть требуется найти дисперсию суммы значений, выпавших на двух одновременно подброшенных кубиках.
Решение. Можно получить ответ без вычисления закона распределения суммы двух случайных величин: D(Х+ Y) = 2.92 + +2.92 = 5.84 на основании свойства 4.
Дисперсию биномиальной случайной величины так же легко получить, пользуясь свойством 4: D (Sn) = n p (1–p) = npq.
На
практике, в прикладных исследованиях
чаще используется тесно связанная с
дисперсией величина
,
называемая среднеквадратическим
отклонением
рассматриваемой случайной величины.
Удобство ее использования состоит в
том, что она измеряется в тех же самых
единицах, что и случайная величина Х.
Функция распределения случайной величины
Функцией распределения случайной величины Х называется функция, определяемая и вычисляемая по формуле:
F(x) = P(X<x).
Как и закон распределения, функция распределения целиком и полностью, исчерпывающим образом описывает все свойства и поведение рассматриваемой случайной величины. Вычислив функцию распределения или закон распределения случайной величины, мы получаем полную информацию о ней.
В качестве примера построим функцию распределения дискретной случайной величины Х – значения грани, выпавшей на кубике. Для этого проанализируем полученный для нее выше закон распределения:
P({X<1}) = 0, поэтому при х ≤ 1 F(x) = 0.
P({X<2}) = 1/6, поэтому при 1<х ≤ 2 F(x) = 1/6.
P({X<3}) = 1/6 + 1/6, поэтому при 2<х ≤ 3 F(x) = 1/3.
P({X<4}) = 1/6 + 1/6 + 1/6, поэтому при 3<х ≤ 4 F(x) = 1/2.
P({X<5}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6, поэтому при 4< х ≤ 5 F(x) = 2/3.
P({X<6}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6, поэтому при 5 < х ≤ 6 F(x) = 5/6.
P({X<t})t>6 = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6+ 1/6, поэтому при 6 < х F(x) = 1.
Построим эту кусочно заданную (ступенчатую) функцию графически:
F(x)
x
Задача. Студенту предложен тест из трех задач. Каждую из них он может решить с вероятностью 0.4. Тестирование заканчивается, как только будет впервые правильно решена какая-либо из задач. Определим дискретную случайную величину Х – количество попыток, которые сделал студент при решении этих задач. Требуется найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию этой случайной величины, построить ее функцию распределения, определить вероятность того, что число попыток будет не более двух.
Решение. Построим закон распределения, проверив контрольную сумму
-
Х
1
2
3
р
0.4
0.24
0.36
Действительно: Х = 1: {решил первую задачу}, Р = 0.4.
Х = 2: {не решил первую, решил вторую}, Р = 0.6 ∙ 0.4 = 0.24.
Х = 3: {не решил первую, не решил вторую, решил третью или не решил ни одной из трех задач}, Р = 0.6 ∙ 0.6 ∙ 0.4 + 0.63 = 0.144 + + 0.216 = 0.36.
М(Х) = 0.4 + 0.48 + 1.08 = 1.96.
D(Х) = 0.4 + 0.96 + 3.24 – 3.8416 = 0.7584.
Построим функцию распределения:
P({X<1}) = 0, поэтому при х ≤ 1 F(x) = 0.
P({X<2}) = 0.4, поэтому при 1 < х ≤ 2 F(x) = 0.4.
P({X<3}) = 0.4 + 0.24, поэтому при 2<х ≤ 3 F(x) = 0.64.
P({X<t})t>3 = 0.4 + 0.24 + 0.36, поэтому при 3 < х F(x) = 1.
Построим эту кусочно заданную (ступенчатую) функцию графически:
F(x)
x
Наконец, P({X ≤ 2}) = 0.4 + 0.24, что следует из закона распределения.