М.С. Соппа
А.Ф. Воронин
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
НОВОСИБИРСК 2007
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)
М.С. Соппа, А.Ф. Воронин
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
Учебное пособие
НОВОСИБИРСК 2007
УДК 519.2
ББК 22.172
С 645
Соппа М. С.
Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие/ М. С. Соппа, А. Ф. Воронин ; Новосиб. гос. архитектур.-строит. ун-т (Сибстрин). – Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2007. – 76 с.
В данном учебном пособии рассмотрены основные понятия теории вероятностей, касающиеся случайных событий, дискретных и непрерывных случайных величин. Большое внимание уделено разделам математической статистики: точечному и интервальному оцениванию параметров случайных величин, проверке статистических гипотез, элементам теории случайных процессов.
Учебное пособие предназначено для студентов специальности 230201 «Информационные системы и технологии».
Рецензенты:
– А.А. Шваб, д-р физ.-мат. наук, профессор,
вед. науч. сотр. (Институт гидродинамики СО РАН);
– Г.М. Шумский, д-р техн. наук, профессор (НГТУ)
ISBN 5-7795-0348-6 Ó Соппа М.С., Воронин А.Ф., 2007
Ó Новосибирский государственный
архитектурно-строительный
университет (Сибстрин), 2007
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 8
Глава 1. Теория вероятностей 10
1.1. Случайные события 10
Основные понятия теории вероятностей 10
Элементы комбинаторики 13
Классическое определение вероятности 17
Вопросы для самопроверки 18
1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей 19
Теорема сложения вероятностей 19
Теорема умножения вероятностей 19
Независимость случайных событий 21
Вопросы для самопроверки 23
1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности 24
Повторение испытаний. Формула Бернулли 24
Формула полной вероятности 25
Вопросы для самопроверки 26
1.4. Дискретные случайные величины 26
Закон распределения дискретной случайной величины 27
Биномиально распределенные случайные величины 28
Математическое ожидание случайной величины 28
Дисперсия случайной величины 30
Функция распределения случайной величины 31
Вопросы для самопроверки 34
1.5. Непрерывные случайные величины 34
Плотность вероятности непрерывной 35
случайной величины 35
Нормальное распределение 36
Независимость случайных величин. 37
Коэффициент корреляции 37
Предельные теоремы теории вероятностей 40
Вопросы для самопроверки 42
Глава 2. Математическая статистика 44
2.1. Основные понятия математической статистики 44
Приемы обработки выборок 45
Точечные оценки параметров генеральной 49
совокупности 49
Проверка взаимозависимости генеральных 51
совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции 51
Интервальные оценки параметров генеральной 53
совокупности 53
Вопросы для самопроверки 57
2.2. Статистическая проверка статистических гипотез 57
Этапы проверки статистических гипотез 58
Проверка гипотез о параметрах генеральных 59
совокупностей 59
Проверка гипотезы о виде распределения генеральной 64
совокупности. Критерий согласия Пирсона 64
Вопросы для самопроверки 66
Глава 3. Случайные процессы 67
3.1. Элементы теории случайных процессов 67
Определение случайного процесса 67
Основные характеристики случайных процессов 69
Корреляционная функция случайного процесса 72
и ее свойства 72
Производная и интеграл от случайной функции 78
Вопросы для самопроверки 82
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 83
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 84
Введение
На практике нередко найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит потому, что некоторые очень существенные факторы, влияющие на результат, носят случайный, труднопредсказуемый в единичном испытании характер. Например, если подбрасывать обычный игральный кубик, то предсказать достоверно заранее, какая грань из шести выпадет, невозможно. Однако методы теории вероятностей позволяют с большой степенью надежности определить примерное число выпадений конкретной грани в той ситуации, когда кубик подбрасывается достаточно большое число раз. Методы теории вероятностей эффективно применяются в самых различных областях: в теоретических и прикладных исследованиях теории автоматического управления, теории надежности, теории ошибок измерений, теории массового обслуживания и др.
При математическом моделировании физических процессов и массовых явлений используются хорошо изученные распределения случайных величин: нормальное, равномерное, экспоненциальное. Очень важными являются подходы, устанавливающие и измеряющие корреляционную связь между случайными величинами.
Математическая статистика, в свою очередь, на основе изучения статистических данных (результатов измерений) с использованием математического аппарата теории вероятностей позволяет устанавливать закономерности, которым подчиняются массовые случайные явления в технике, в экономике, в обществе. Современная математическая статистика разрабатывает способы сбора и группировки статистических сведений, изучает методы их анализа. Это позволяет получать оценку неизвестной вероятности случайного события, оценку параметров распределений, оценку величины взаимозависимости случайных величин, проводить статистическую проверку статистических гипотез.
Данный курс является неотъемлемой частью общей математической подготовки в полном соответствии с требованиями, отраженными в ГОС специальности 230201 «Информационные системы и технологии».