Правило трех сигм
Нормальные
случайные величины достаточно компактно
принимают подавляющую часть значений
в небольшой окрестности своего
математического ожидания. Пользуясь
таблицами интегральной функции Лапласа,
можно определить радиус или
полуширину такой окрестности M(N(a,
)),
чтобы вероятность отклонения от нее не
превышала полпроцента (была очень мала).
Установлено, что этот радиус равен
примерно
:
Р({а
–
< N(a,
)
< а
+
}) = Ф((
а +
–а)/
)
–
– Ф((
а
–
–а)/
)
= Ф(3)
– Ф(–3)
= 2Ф(3)
2·0.499 = 0.998.
Иногда этим свойством пользуются в обратном смысле: если подавляющая часть значений исследуемой случайной величины локализуется в трехсигмовой окрестности математического ожидания, то делается вывод, что эта случайная величина имеет нормальное распределение.
Независимость случайных величин. Коэффициент корреляции
Случайные величины Х и Y называются независимыми, тогда и только тогда, когда случайные события {Х = хi} и {Y = yj} при любых i и j являются независимыми. Согласно ранее данному определению это эквивалентно тому, что при любых i и j вероятность события {Х = хi} не зависит от того, произошло ли событие {Y = yj} и наоборот. Другими словами, независимые случайные величины Х и Y не могут влиять друг на друга, взаимовлияние отсутствует. В свою очередь, между зависимыми случайными величинами обязательно существует взаимосвязь, говорят, что они в этом случае влияют друг на друга. Пусть, например, Х – число курильщиков по данным из ряда регионов, а Y – число зарегистрированных в этих регионах больных раком легких и туберкулезом. Очевидно, эти случайные величины будут связаны между собой (положительное взаимовлияниие: если Х растет, то и Y растет). Бывает и отрицательная взаимосвязь: например, при повышении Х – цены, устанавливаемой на товар, как правило, уменьшается величина Y – эффективный спрос на него.
Система случайных величин (Х, Y) полностью определяется своим двумерным законом распределения. Для дискретных случайных величин закон распределения представляет собой корреляционную таблицу следующего вида:
Y Х |
у1 |
у2 |
... |
уm |
х1 |
(х1, у1) р11 |
(х1, у2) р12 |
|
(х1, уm) р1m |
х2 |
(х2, у1) |
(х2, у2) р22 |
|
(х2, уm) |
... |
|
|
|
|
хn |
(хn, у1) |
(хn, у2) рn2 |
|
(хn, уm) рnm |
Здесь рij – не условные вероятности, а вероятности произведений событий {Х = хi} и {Y = yj}. Из корреляционной таблицы получаются законы распределения компонент:
– суммированием по строкам:
Р({Х = хi}) = 
,
i = 1,
..., n;
(4)
– суммированием по столбцам:
Р({Y = yj}) = 
,
j = 1,
..., m.
(5)
Количественной
мерой взаимосвязи различных случайных
величин является коэффициент корреляции
.
Он определяется и вычисляется по формуле:
= (М(Х∙Y)
– М(Х)∙М(Y))/
.
(6)
Значения М(Х), D(Х) и М(Y), D(Y) уже определены и вычислялись ранее. Числитель дроби, равный математическому ожиданию произведения отклонений случайных величин от своих математических ожиданий, называется корреляционным моментом и вычисляется с помощью двумерного закона распределения или корреляционной таблицы, если речь идет о дискретных случайных величинах.