Глава 1. Теория вероятностей

1.1. Случайные события Основные понятия теории вероятностей

С целью интуитивного ознакомления дадим вначале нестрогое описание понятий. Вероятность события – это мера нашей уверенности в том, что данное событие произойдет. Теория вероятностей – это математика случайности (хотя, с точки зрения обычного человека, математика и случайность мало совместимы).

Теория вероятностей применяется при изучении массовых процессов в окружающем мире. На основе проведенных наблюдений мы можем, например, сделать следующие обоснованные прогнозы:

• число покупателей какого-либо товара в магазине в последующий период;

• примерное число больных, которые обратятся в поликлинику с гриппом;

• величина периода времени, в течение которого какое-либо устройство (например, телевизор) будет работать без сбоев.

Предметом рассмотрения в теории вероятностей также являются:

• расшифровка секретных сообщений (криптография);

• расчет игорного бизнеса;

• теория надежности и ошибок измерений;

• прогнозирование инвестиционных процессов;

• выбраковка продукции (определение ее качественного состава).

Теория вероятностей на ранних этапах развивалась в исследованиях следующих ученых: Якоб Бернулли (Швейцария, 1654–1705), Пьер Лаплас (Франция, 1749–1827), Симон Пуассон (Франция, 1781–1840), академик П.Л. Чебышев (Россия, 1821–1894), академик А.М. Ляпунов (Россия, 1857–1918), член-корреспондент А.Я. Хинчин (Россия, 1894–1959).

Основные определения

Опыт (испытание) – создание фиксированных условий для реализации какого-либо явления, например:

1. Подбрасывание монеты.

2. Подбрасывание кубика (игральной кости).

3. Выбор случайной точки на отрезке [0, 1].

4. Анкетирование случайно встреченного человека на улице (узнать и записать его вес в таблицу).

Назовем элементарными исходами различные взаимоисключающие результаты какого-либо опыта.

Пространство элементарных исходов Ω – полная совокупность элементарных исходов опыта: .

Запишем Ω для рассмотренных выше примеров:

1. Ω = {Г, Ц} Г– герб, Ц– цифра.

2. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3. Ω = {бесконечное число точек отрезка [0, 1]}.

4. Ω = {бесконечное число точек отрезка [20, 200]}.

Случайное событие – событие, которое может произойти, а может и не произойти вне зависимости от нашей воли (если мы можем повлиять на реализуемость события, то оно уже не может считаться случайным). Случайные события будем обозначать большими латинскими буквами А, В, С и т.д.

Пример. Случайным событием может быть выпадение четной грани при однократном подбрасывании кубика А = {2, 4, 6}.

Установим связь между случайными событиями и элементарными исходами.

Элементарный исход называется благоприятствующим случайному событию А, если при его реализации происходит событие А. Говорят, что такие элементарные исходы порождают событие А. Пусть А = {2, 4, 6} = {выпадение четной грани на кубике}, тогда элементарные исходы { } являются благоприятствующими случайному событию А. Напротив, { } = {1, 3, 5} являются неблагоприятствующими событию А. Случайное событие А является подмножеством пространства элементарных исходов Ω : .

Задача. Опыт состоит в одновременном подбрасывании двух монет. Рассмотрим событие В = {выпадение хотя бы одного герба}. Требуется: 1) перечислить все элементарные исходы, т.е. построить Ω; 2) перечислить все исходы , благоприятствующие событию В.

Решение. Пронумеруем монеты

1 М 2 М Г Г Г Ц Ц Г Ц Ц

Таким образом,  = {Г, Г},  = {Г, Ц},  = {Ц, Г},  = {Ц, Ц}. В = { }.

Задача. Два стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Требуется: 1) перечислить все элементарные исходы, т.е. построить Ω; 2) перечислить все исходы , благоприятствующие событию В = {в мишени ровно одна пробоина}. При этом считаем, что если в мишень попали две пули, то и отверстий можно различить два.

Решение.

1 Ст. 2 Ст. П П П Н Н П Н Н

Таким образом,  = {П, П},  = {П, Н},  = {Н, П},  = {Н, Н}. В = { }. Для проверки понимания этой ситуации полезно разобраться, чем отличаются следующие события:

{в мишени 1 про­боина}.

Невозможное событие  – событие, которое заведомо не произойдет в данном опыте. Например, при подбрасывании кубика выпадет: 0, 10, >100, одновременно выпадет 1 и 5.

Достоверное событие Ω – событие, которое обязательно, наверняка, произойдет в данном опыте. Например, при подбрасывании кубика выпадет: число из отрезка [1, 6], <100, > 0.