Вопросы для самопроверки

1. Что понимается под статистической гипотезой?

2. Перечислить этапы проверки статистических гипотез.

3. Дать определение ошибки первого и второго рода.

4. Как связана величина уровня значимости с границами критической области?

5. Какова связь между выбором вида конкурирующей гипотезы и типом критической области?

6. Привести виды критериев, используемых в задачах о проверке статистических гипотез.

Глава 3. Случайные процессы

3.1. Элементы теории случайных процессов Определение случайного процесса

Теория случайных процессов – область науки, изучающая последовательности событий, управляемых вероятностными законами. Теория случайных процессов (в другой терминологии – теория случайных функций) представляет собой сравнительно новый раздел теории вероятностей, интенсивно развивающийся в последнее время в связи с расширяющимся кругом его практических приложений.

При изучении явлений окружающего мира мы часто стал­киваемся с процессами, точно предсказать течение которых заранее невозможно. Эта неопределенность (непредсказуемость) вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Приведем несколько примеров таких процессов.

1. Напряжение в электросети, номинально равное 220 В, фактически меняется во времени, колеблется вокруг этого зна­чения под влиянием таких случайных факторов, как количество и вид включенных в сеть приборов, моменты их включений и выключений.

2. Население города меняется в течение времени слу­чай­ным (непредсказуемым) образом под влиянием таких факторов, как рождаемость, смертность, миграция.

3. Частица совершает движение в жидкости под влиянием соударений с молекулами жидкости (Броуновское движение).

Строго говоря, в природе не существует совершенно неслучайных (детерминированных) процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют так слабо, что ими можно пренебречь (например, процесс обращения планет вокруг Солнца).

Дадим определение случайного процесса (случайной функции). Функцию двух переменных φ(t, ), где – пространство элементарных исходов, t Т R, будем называть случайной функцией. Таким образом, X(t)≡φ (t, ), t Т, – случайный процесс (t – трактуется как время, при t > 0).

Сечением случайного процесса X(t) в точке t называется случайная величина X(t ), где точка t – фиксирована.

Траекторией (или реализацией) случайного процесса X(t) называется неслучайная функция X (t) ≡ φ(t, ), где t Т, – фиксированный элемент из .

В рассмотренных выше примерах 1–3 случайными функциями являются:

1. V(t) – напряжение в зависимости от времени, t Т ≡ [t₁, t₂].

2. N(t) – численность населения города в зависимости от времени.

3. R(t) = (x(t), y(t), z(t)) – координаты частицы в зависимости от времени, t Т.

Случайный процесс X(t) называется непрерывным по времени, если X(t)≡φ(t, ) – непрерывная функция по t Т при каждом .

Случайный процесс X(t) называется процессом с непре­рыв­ным (дискретным) состоянием, если X(t) – непрерывная (дискретная) случайная величина при любом t Т.

Таким образом, все процессы можно разделить на четыре группы:

1. Процесс с дискретным временем и дискретным состоя­нием.

2. Процесс с дискретным временем и непрерывным состоянием.

3. Процесс с непрерывным временем и непрерывным состоянием.

4. Процесс с непрерывным временем и дискретным состоянием.

Случайный процесс V(t) (пример 1) – с непрерывным временем и непрерывным состоянием. Случайный процесс N(t) (пример 2) – с непрерывным временем и дискретным состоянием.

В ряде задач случайные процессы удобно выражать через простейшие (или элементарные) случайные процессы. Элементарным процессом будем называть процесс φ(t, ) с разделяющимися переменными: φ(t, ) =  (t)X , где – неслучайная функция, X – случайная величина. Приведем примеры элементарных случайных процессов.

1. X(t) = e X , где X – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, 1], t > 0.

2. X(t) = e X , где X – дискретная случайная величина, t> 0.

3. X(t) = сt + N(0, 1), где с = const, N(0, 1) – нормально распределенная случайная величина с параметрами а = 0, σ = 1, t Т.

4. X(t) = N(0, 1)cos (сt), где с = const, t [t₁, t₂].