Операции над случайными событиями

Сумма событий С = А+В – произойдет тогда и только тогда, когда произойдет событие А или событие В, или оба вместе.

Пример. Пусть при подбрасывании кубика А = {2, 4}, B = {4, 6}. Тогда С = {2, 4, 6}. Количество благоприятствующих элементарных исходов увеличилось.

Произведение событий С = А ∙ В – произойдет тогда и только тогда, когда произойдут оба события А и В одновременно.

Пример. Пусть при подбрасывании кубика А = {2, 4}, B = {4, 6}. Тогда С = {4}. Количество благоприятствующих элементарных исходов уменьшилось.

Задача. Одновременно подбрасываются 3 монеты. А = {выпало < трех гербов}, B = {выпало ≥ двух цифр}. Найти С = А ∙ В.

Решение. С = {ГЦЦ, ЦЦЦ, ЦЦГ, ЦГЦ}.

Противоположное событие (не А) – происходит тогда и только тогда, когда событие А не произошло.

Пример. Пусть при подбрасывании кубика А = {2, 4}, тогда  = {1, 3, 5, 6}. Если при подбрасывании монеты D = {Г}, то  = {Ц}. Очевидно, что + А = Ω, а ∙ А = Æ.

Несовместные (взаимоисключающие) события – два или более событий А, В и т.д., которые не могут реализоваться одновременно, в одном опыте. Очевидно, что А ∙ В = Æ.

Пример. Два стрелка стреляют одновременно по одной мишени. Пусть А = {хотя бы один стрелок попал}, а В = {хотя бы один стрелок промахнулся}. Будут ли А и В несовместны? Не будут, они совместны. Рассмотрим другую ситуацию: при подбрасывании кубика А = {2, 4} и B = {3} несовместны, хотя и не противоположны.

Элементы комбинаторики

Комбинаторика применяется для подсчета количества комбинаций, вариантов и элементарных исходов в каком-либо опыте.

Правило произведения. Предположим, что переменная i может принимать одно из m значений, а переменная j – независимо от нее, одно из n значений. Сколько упорядоченных пар (i, j) можно составить? Ответ получаем графически. Количество таких пар равно количеству клеток таблицы и равно n ∙ m.

j i	i1	i2	...	im
j1	(i1, j1)	(i2, j1)		(im, j1)
j2	(i1, j2)	(i2, j2)		(im, j2)
...
jn	(i1, jn)	(i2, jn)		(im, jn)

Если независимых переменных не две, а больше, то правило произведения дает ответ, что количество упорядоченных комбинаций (i₁, i₂, ..., i_p) равно

n₁ ∙  n₂ ∙  ...  ∙ n_p.

Пример. Опыт состоит в подбрасывании трех монет. Здесь каждой из монет можно сопоставить переменную, которая принимает два значения: Г или Ц. Значит p = 3, а каждая из i₁, i₂, i₃ принимает, независимо от других, ровно два значения, т.е. n₁ = 2, n₂ = 2, n₃ = 2. Количество возможных элементарных исходов этого опыта:

n₁ ∙  n₂ ∙  n₃ = 2³ = 8.

Полученный результат можно проверить и методом перебора.

Перестановки Р_n – все комбинации из n различных элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов.

Пример. Составим все перестановки карточек с надписанными буквами А, В, С. Это АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА, – 6 вариантов.

Формула для подсчета количества перестановок:

Р_n = n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ (n–2) ∙ (n–1) ∙ n. 3! = 6, 5! = 120.

Сочетания – все комбинации, содержащие m предметов, входящих в набор из n различных предметов, m ≤ n. Порядок следования предметов здесь безразличен.

Пример. Составим все сочетания по три карточки из набора А, В, С, D. Это АВС, АСD, АBD, ВСD. 4 варианта.

Формула для подсчета количества сочетаний:

.

Отметим, что всегда существует возможность сократить большое количество сомножителей. Например: . Следует иметь в виду, что 0! = 1, поэтому , , .

Замечание. Если порядок следования в сочетаниях важен, то такие комбинации называются размещениями: . Выбрать трех студентов из группы в 10 человек – сочетания, а вот выбрать актив (спорторга, профорга и старосту) – размещения.

Комбинаторная схема. Пусть имеется совокупность предметов двух сортов: n – 1-го сорта и m – 2-го сорта. Требуется из этой совокупности сделать выборку (взять часть предметов). Сколько всего существует различных выборок, таких, что в них ровно p предметов 1-го сорта и q предметов 2-го сорта? Сколько существует всего выборок, содержащих p+q предметов, если не следить за качественным составом выборки?

n – 1-го сорта		m – 2-го сорта
p – 1-го сорта	q – 2-го сорта

Решение. Выборок с заданным качественным составом будет ровно

(1)

Если же не обращать внимание на качественный состав выборки, то их будет гораздо больше: .

Задача. В партии из 100 деталей есть 10 бракованных. Наугад выбираем из них 3 детали. Найти количество возможных комбинаций, чтобы среди выбранных ровно две детали были годными, а одна бракованной.

Решение.  = 4005 ∙ 10 = 40050, а всего  = = 98 ∙ 99 ∙ 100/(1 ∙ 2 ∙ 3) = 161700.