Вопросы для самопроверки

1. Сформулировать теорему сложения вероятностей (отдельно для случая несовместных событий).

2. Как вычислить вероятность противоположного события?

3. Какая вероятность называется условной?

4. Сформулировать теорему умножения вероятностей.

5. Дать определение независимости случайных событий.

6. Дать определение независимости событий через вероятности и условные вероятности.

7. Сформулировать теорему умножения вероятностей для независимых событий.

1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Повторение испытаний. Формула Бернулли

Предположим, что один и тот же опыт производится при неизменных условиях n раз. В каждом из этих опытов случайное событие А может произойти с вероятностью р и не произойти с вероятностью, соответственно, q = (1–p). Вероятность того, что в этих n испытаниях событие А произойдет ровно i раз (0 ≤ i ≤ n) вычисляется по формуле Бернулли:

Р_n(i) =  .

Задача. Найти вероятность, что при 10 подбрасываниях монеты мы получим ровно 5 гербов.

Решение. А = {выпадение герба в одном, единичном испытании}, р = 0.5, q = 0.5, n = 10, i = 5.

Р₁₀(5) =   = 36 ∙ 7/2¹⁰ = 0.245.

Ценность формулы Бернулли состоит в том, что она дает ответ, когда из-за слишком большого числа элементарных исходов обычные комбинаторные способы подсчета вариантов неприменимы.

Задача. В мастерской работают 12 мастеров. Вероятность того, что мастер находится на рабочем месте равна 0.8. Найти вероятность того, что, случайно зайдя в мастерскую, мы застанем на рабочих местах не менее 10 мастеров.

Решение. Введем случайные события:

А₁ = {на рабочем месте 10 мастеров}, P(А₁) = Р₁₂(10), А₂ = {на рабочем месте 11 мастеров}, P(А₂) = Р₁₂(11), А₃ = {на рабочем месте 12 мастеров}, P(А₃) = Р₁₂(12).

А = А₁ + А₂ + А₃. Р(А) = Р(А₁ + А₂ + А₃) = {по теореме сложения вероятностей для несовместных событий} = Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃) = = {применяя формулу Бернулли} = Р₁₂(10) + Р₁₂(11) + Р₁₂(12) = =  + + = = 66 ∙ 0.8¹⁰ ∙ 0.04+ 12 ∙ 0.8¹¹ ∙ 0.2 + 0.8¹² = 66 ∙ 0.107 ∙ 0.04+12 ∙ 0.086 ∙ 0.2 + +0.069 = 0.558.

Формула полной вероятности

Пусть требуется найти вероятность случайного события А. При этом известно, что все пространство элементарных исходов Ω можно разложить на несколько взаимоисключающих, несовместных гипотез: Ω = Н₁ + Н₂ + Н₃ + … (считаем, к примеру, что гипотез – 3). Тогда имеет место формула полной вероятности:

P(A) = P(Н₁) ∙ P(A/Н₁) + P(Н₂) ∙ P(A/Н₂) + P(Н₃) ∙ P(A/Н₃).

Говорят, что гипотезы Н_i образуют полную группу событий, т.е. их попарные произведения невозможны, а в сумме они дают все Ω.

Пример. На фабрике первый станок производит 25 % деталей, второй – 35 %, а третий – 40 %. Брак в их продукции составляет соответственно 5, 4 и 3 %. Какова вероятность, что случайно отобранная на складе готовой продукции деталь дефектна?

Решение. Введем гипотезы и найдем их вероятности:

Н₁ = {взятая деталь изготовлена на 1-м станке}, P(Н₁) = 0.25, Н₂ = {взятая деталь изготовлена на 2-м станке}, P(Н₂) = 0.35, Н₃ = {взятая деталь изготовлена на 3-м станке}, P(Н₃) = 0.4. Считая, что А = {взятая деталь дефектна}, вычислим условные вероятности: P(A/Н₁) = 0.05, P(A/Н₂) = 0.04, P(A/Н₃) = 0.03.

Образуют ли гипотезы Н_i полную группу событий? – Да. Тогда для нахождения Р(А) можно применить формулу полной вероятности: Р(А) = 0.25 ∙ 0.05 + 0.35 ∙ 0.04 + 0.4 ∙ 0.03 = 0.0385.

Пример. Человек одет в костюм, имеющий два кармана: правый и левый. В правом кармане 5 десятирублевых купюр и 3 сторублевые купюры. В левом кармане – 9 десятирублевых купюр и 2 сторублевые купюры. Найти вероятность того, что выбрав наугад карман и достав из него случайным образом купюру, он вынет «десятку». Изменится ли вероятность, если перед выниманием мы все купюры из обоих карманов переложим в один?

Решение. Введем гипотезы и найдем их вероятности:

Н₁ = {выбран правый карман}, P(Н₁) = 0.5, Н₂ = {выбран левый карман}, P(Н₂) = 0.5. Считая, что А = {взятая купюра – «десятка»}, вычислим условные вероятности: P(A/Н₁) = 5/8, P(A/Н₂) = 9/11. Так как гипотезы Н_i образуют полную группу событий, то можно применить формулу полной вероятности:

Р(А) = 0.5 ∙ 5 / 8 + 0.5 ∙ 9 / 11 = 0.722.