Свойства коэффициента корреляции

1. –1 ≤ ≤ 1, (| | ≤ 1).

2. Если случайные величины Х и Y являются независимыми (не влияют друг на друга) то r_xy = 0. В практически важных случаях верно и обратное утверждение.

3. Если r_xy = +1 (–1), то между Х и Y существует сильная (линейная) зависимость по типу Х = а Y + в. Если а > 0, то зависимость прямая (положительная корреляция), а если а < 0, то имеет место обратная зависимость.

Задача. Двумерная случайная величина (Х, Y) задана своим законом распределения:

Y Х	0	–1
3	(3, 0) 1/2	(3, –1) 1/12
2	(2, 0) 1/12	(2, –1) 1/3

Требуется найти коэффи-

циент корреляции данной

системы случайных вели-

чин.

Решение. Составим закон распределения компонент Х и Y, пользуясь формулами (4) и (5).

Х 3 2 р 7/12 5/12

Y 0 –1 р 7/12 5/12

M(X) = 3∙7/12+2∙5/12 = 31/12, M(Y) = 0∙7/12+(–1)∙5/12 = –5/12.

D(X) = 9∙7/12+4∙5/12 – 961/144 = (996 – 961)/144 = 35/144,

D(Y) = 0∙7/12+1∙5/12 – 25/144 = (60 – 25)/144 = 35/144.

M(X∙Y) = 3∙0∙1/2+3∙(–1)∙1/12+2∙0∙1/12+2∙(–1)∙1/3 = –1/4–2/3 = 

= –(3+8)/12 = –11/12.

По формуле (6) окончательно получаем:

 = (М(Х∙Y)–М(Х)∙М(Y))/  = (–11/12+ (5/12) ∙(31/12))/  = (155/144–11/12)∙144/35 = 

 = (23/144)∙(144/35) = 23/35 ~ 0.66.

Предельные теоремы теории вероятностей

Сходимость по вероятности. Пусть имеется последовательность случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_n, … . Говорят, что данная последовательность сходится по вероятности к случайной величине Y (обозначается ), если при любом, сколь угодно малом .

Лемма Чебышева. Для любой случайной величины Х справедливо неравенство

Р(| Х –М(Х) | > ) D(X)/ ,

дающее количественную оценку вероятности отклонения случайной величины от своего математического ожидания.

Закон больших чисел в форме Чебышева

Пусть имеется последовательность попарно независимых случайных величин Х₁, Х₂, …, Х_n, … с ограниченными дисперсиями (D(Х_i) C равномерно по i). Тогда среднее арифметическое этих случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

и, следовательно, асимптотически уже не является случайной величиной.

Следствия из закона больших чисел

Следствие 1. Рассмотрим ситуацию, когда все Х_i равны друг другу (Х_i = Х_j). Из закона больших чисел следует, что среднее арифметическое большого количества значений случайной величины (так называемое осреднение) сходится по вероятности к математическому ожиданию: .

Следствие 2. Теорема Бернулли. Данная теорема позволяет на основе наблюдений над случайной величиной приближенно определить вероятность случайного события А. Рассмотрим цепочку n одинаковых опытов, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р. Введем биномиальную случайную величину S_n, как количество появлений события А в этой цепочке испытаний (или как число опытов, в которых событие А произошло). S_n, называемую еще частотой, можно рассматривать как сумму большого числа одинаковых слагаемых S_nⁱ, индикаторов факта появления события А в i-м испытании. Очевидно, что М(S_nⁱ) = р, так как

Sni	0	1
p

Случайная величина называется относительной частотой, для нее из закона больших чисел следует:

.

Значит приближенное значение вероятности случайного события А можно найти, если путем наблюдений определить относительную частоту появления этого события в достаточно длинной цепочке испытаний.