- •Оглавление
- •Глава 1. Теория вероятностей 10
- •Глава 2. Математическая статистика 44
- •Глава 3. Случайные процессы 67
- •Введение
- •Глава 1. Теория вероятностей
- •1.1. Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные определения
- •Операции над случайными событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей Условная вероятность
- •Обобщенная теорема умножения вероятностей
- •Независимость случайных событий
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Формула Бернулли. Формула полной вероятности Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •Формула полной вероятности
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Дискретные случайные величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Биномиально распределенные случайные величины
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Функция распределения случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •Вопросы для самопроверки
- •1.5. Непрерывные случайные величины
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •Cвойства функции плотности вероятности
- •Нормальное распределение
- •Правило трех сигм
- •Независимость случайных величин. Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Следствия из закона больших чисел
- •Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Математическая статистика
- •2.1. Основные понятия математической статистики
- •Приемы обработки выборок
- •Построение гистограммы относительных частот
- •Точечные оценки параметров генеральной совокупности
- •Дополнительные свойства точечных оценок
- •Проверка взаимозависимости генеральных совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции
- •Интервальные оценки параметров генеральной совокупности
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Этапы проверки статистических гипотез
- •Проверка гипотез о параметрах генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Случайные процессы
- •3.1. Элементы теории случайных процессов Определение случайного процесса
- •Основные характеристики случайных процессов
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайного процесса и ее свойства
- •Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства
- •Нормированная корреляционная функция
- •Взаимная корреляционная функция и ее свойства
- •Нормированная взаимная корреляционная функция
- •Производная и интеграл от случайной функции
- •Интеграл от случайной функции и его характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Библиографический список
Классическое определение вероятности
Пусть для некоторого опыта множество элементарных исходов Ω состоит из конечного числа равновозможных элементарных исходов (i = 1, ..., n). Пусть А – случайное событие, для которого благоприятствующими являются исходы , А = { }, 0 ≤ k ≤ n.
Тогда вероятностью события А называется число
Р(А) = .
Примеры: А = {выпадение герба на монете}. Р(А) = 1/2 = 0.5.
B = {выпадение «5» на кубике}. Р(В) = 1/6 = 0.16667.
С = {выпадение числа > 2 на кубике}. Р(С) = 4/6 = 0.66667.
Задача. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали 1 шар. Какова вероятность, что он белый?
Решение. Р = 8/11.
Свойства вероятности
1. Р(А) ≥ 0.
2. Р(А) ≤ 1.
Достигаются ли эти крайние значения? Ответ на этот вопрос дает свойство 3.
3. Р(Ω) = 1. Р(Æ) = 0.
4. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
5. Вероятность противоположного события, которую иногда легче найти, чем вероятность самого события А.
Р(А) = 1 – Р( ).
Задача. Подбрасываются 2 кубика. Найти вероятность, что сумма чисел, выпавших на гранях, равна 10.
Решение. Р = 3/36 = 1/12.
Задача. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали 2 шара. Какова вероятность, что оба они белые? Учитываем, что не важно, по очереди достали шары, или оба сразу.
Решение. Используем комбинаторную схему (1):
Р = / = (28 ∙ 1)/55 0.5.
Задача. Пусть в ситуации предыдущей задачи вынутый шар возвращается на место (вынимание с возвращением).
Решение. Р = (8 ∙ 8) / (11 ∙ 11) = 64/121 > 0.5.
Задача. Какова вероятность при двукратном подбрасывании кубика выбросить дважды одно и то же число?
Решение. Р = 6/36 = 1/6.
Вопросы для самопроверки
Какое событие называется случайным?
Определить элементарные исходы опыта.
Какой исход называется благоприятствующим случайному событию А?
Дать определения суммы случайных событий, произведения случайных событий.
Какие события называются несовместными?
Сформулировать правило произведения для подсчета количества комбинаций.
Дать определения перестановок, сочетаний.
Когда можно применить комбинаторную схему (1)?
Сформулировать классическое определение вероятности. В каких случаях оно применимо?
Перечислить свойства вероятности.
1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей
В теории вероятностей доказывается, что для любых случайных событий А и В вероятность их суммы может быть представлена через вероятности каждого из этих событий и вероятность их произведения:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∙ В).
Для несовместных событий теорема сложения упрощается:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
Теорема умножения вероятностей Условная вероятность
Условная вероятность P(A/B) – это вероятность события А, пересчитанная с учетом того, что достоверно и точно известно, что событие В произошло.
Пример. Пусть при подбрасывании кубика определены случайные события: А = {выпадение 2}, В = {выпадение четной грани}. Определим условные и безусловные вероятности Р(А) = 1/6, Р(В) = 3/6 = 1/2, P(A/B) = 1/3, P(В/А) = 1/1 = 1. Используя понятие условной вероятности, можем сформулировать теорему умножения вероятностей:
P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B/A) = P(B) ∙ P(A/B).
Эта теорема позволяет вычислять вероятности сложных событий, представляя их через простые события, вероятности которых найти гораздо легче.
Задача. В урне 8 белых и 3 черных шара. Наугад достали 2 шара. Какова вероятность, что оба они белые?
Решение. Введем простые события: А = {второй шар – белый}, В = {первый шар – белый}. Тогда нужное нам сложное событие представляется через А и В: C = A ∙ B. Следовательно, по теореме умножения вероятностей P(С) = Р(А ∙ В) = = Р(В) ∙ Р(А/В) = 8/11 ∙ 7/10 = 28/55. Ранее мы эту задачу решили с помощью комбинаторной схемы и получили такой же ответ.