Проверка гипотез о параметрах генеральных совокупностей

Задача 1. Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания нормальной генеральной совокупности Х = N(а, ). : а = а₀. Точное теоретическое значение а – неизвестно, – среднеквадратическое отклонение – известно из каких-либо соображений. Имеется выборка объема n: (x₁, …, x_n). Требуется ответить на вопрос: верна или нет гипотеза, что а = а_0, совершая при этом ошибку первого рода с вероятностью не более .

Решение

Э т а п 1. : а = а_0. – альтернативная гипотеза, может быть взята одного из трех видов:

Случай 1. : а > а₀ выбираем, когда значение К по выборке – достаточно большое положительное число.

Случай 2. : а < а₀, когда К – большое по модулю отрицательное число.

Случай 3. : а ≠ а₀, в остальных ситуациях.

Э т а п 2. Зададим уровень значимости .

Э т а п 3. Построим критерий в виде . В математической статистике строго доказывается, что . Это случайная величина, ее конкретные значения получаются подстановкой значения , вычисленного по выборке (х₁, …, х_n). Так как К является нормированной нормальной случайной величиной, то Р (К (u₁, u₂)) = Ф (u₂) – Ф (u₁), где Ф – интегральная функция Лапласа.

Э т а п 4. Построение критической области :

Случай 1. : а > а_0. Основное соотношение:

Р(К > ) =  ,

. Найдем :  =   =  ,

но , следовательно, , . Отсюда – это значение может быть найдено с помощью таблиц для функции Лапласа. Функции и – монотонно возрастающие. Если уровень значимости уменьшается, то обратная функция Лапласа увеличивается, увеличивается, соответственно, критическая область уменьшается.

Случай 2. : а < а₀, значит,

Основное соотношение  =  , следовательно,  =   =  = ,

значит,   .

Окончательно, .

Случай 3. : а ≠ а_0.

 = 

 = 

,

следовательно, . Значит , , в свою очередь, .

Э т а п 5. Вычисляем критерий К по выборке, сравниваем полученное значение с и отвергаем либо принимаем гипотезы и , оценивая при этом вероятность ошибки.

Пример. Проведено 16 замеров времени изготовления детали. Среднее время изготовления детали = 48 с. Предполагается, что время изготовления подчиняется нормальному распределению с дисперсией  = 9 с². На уровне значимости  = 0.05 ответить на вопрос: можно ли принять значение 50 с в качестве математического ожидания времени изготовления детали?

Решение.

: а = 50, а₀ = 50, n = 16. – а₀ < 0 – надо взять левостороннюю критическую область. Конкурирующая гипотеза : а < а₀.

_,  =  .

К , значит, основную гипотезу придется отвергнуть, а принять конкурирующую : математическое ожидание а < 50. Однако, если взять значение а₀ = 49, то основная гипотеза будет принята. Следует отметить, что если уменьшить уровень значимости до 0.01, то , критерий уже не попадает в критическую область , и основная гипотеза : а = а₀ в этом случае будет принята даже при а₀ = 50.

Задача 2. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых нормальных генеральных совокупностей X и Y.

Постановка задачи: генеральные совокупности X и Y распределены по нормальному закону: X = N(a_x, ) и Y = N( , ). Средние квадратические отклонения и предполагаются известными. Имеются две независимые выборки x₁, …, x_n и y₁, …, y_m. Требуется ответить на вопрос: можно ли принять гипотезу :  =  , имея при этом вероятность совершить ошибку первого рода Р( / ) не более ?

Решение.

Э т а п 1. :  =  . Конкурирующую гипотезу, как и в предыдущей задаче, можно формулировать в трех видах:

: < , : > и : .

Э т а п 2. Вводим уровень значимости .

Э т а п 3. Критерий К =  – конкретные значения этой случайной величины находятся по выборкам. Найдем ее закон распределения, точнее, докажем, что К = N(0, 1).

Действительно, является линейной комбинацией независимых нормальных случайных величин X_i, Y_j, поэтому она сама имеет нормальный закон распределения. Найдем ее числовые характеристики (используя сведения из теории вероятности):

– по предположению.

 = 

= (вследствие независимости всех слагаемых). При делении на среднее квадратическое отклонение нормируется и становится равным 1, а на математическое ожидание это не влияет.

Э т а п 4. Построение критической области. Аналогично предыдущей задаче, получаем:

при : > , при : < ,

при : ≠

Э т а п 5. По выборкам находим конкретное значение критерия К и сравниваем его с . Если , то основную гипотезу отвергаем, а альтернативную принимаем. Если же , то принимается.