Точечные оценки параметров генеральной совокупности

Приближенные значения неизвестных параметров генеральной совокупности, которые могут быть вычислены по конкретной выборке (х₁, х₂, …, х_n), называются точечными оценками этих параметров.

Оценка генерального среднего (математического ожидания). Напомним, что является важнейшей числовой характеристикой генеральной совокупности, имеющей смысл среднего значения, центра, вокруг которого группируются все возможные значения генеральной совокупности. В качестве приближенного значения или точечной оценки для будем использовать выборочное среднее , которое может быть вычислено по имеющейся в нашем распоряжении выборке:

 = (х₁ + х₂ + …+ х_n) / n.

удобнее вычислять по группированному статистическому ряду:

 =   =  .

Оценка генеральной дисперсии. D_г является второй важнейшей числовой характеристикой генеральной совокупности, имеющей смысл меры рассеяния (разброса) значений генеральной совокупности вокруг генерального среднего. В качестве приближенного значения или точечной оценки для D_г будем использовать выборочную дисперсию D_в, которая может быть вычислена по имеющейся в нашем распоряжении выборке:

D_в = (х₁² + х₂² + …+ х_n²)/n – ².

D_в удобнее вычислять по группированному статистическому ряду:

D_в =  – ² =  – ².

Замечание. Чтобы получить вышеуказанные точечные оценки с более высокой точностью, необходимо увеличивать объем выборки n с одновременным уменьшением шага разбиения h.

Дополнительные свойства точечных оценок

Существуют различные способы и формулы для построения точечных оценок. Наиболее приемлемыми из них считаются обладающие следующими свойствами:

Состоятельность. Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки ее значение сходится по вероятности к оцениваемому параметру. Если в качестве примера взять точечную оценку генерального среднего, то должно быть выполнено:

или ,

при любом сколь угодно малом .

Несмещенность. Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание этой оценки равно оцениваемому параметру. В случае точечной оценки генерального среднего должно быть выполнено: М( ) =  .

В математической статистике доказано, что обе построенные нами точечные оценки являются состоятельными. Также доказано, что является несмещенной оценкой для . К сожалению, этого нельзя сказать об оценке D_в, – она является смещенной. Однако выход из этой ситуации был найден с помощью введения так называемой исправленной выборочной дисперсии S², вычисляемой по формуле:

S² =  .

Оценка S² является состоятельной и несмещенной оценкой для генеральной дисперсии D_г.

Проверка взаимозависимости генеральных совокупностей. Выборочный коэффициент корреляции

В теории вероятностей было определено, что случайные величины Х и Y называются независимыми, если при любых i и j вероятность события {Х = х_i} не зависит от того, произошло ли событие {Y = y_j} и наоборот. При этом условные вероятности равны безусловным: Р({Х = х_i}) = P({Х = х_i}/{Y = y_j}). Таким образом, независимые случайные величины не могут влиять друг на друга, в свою очередь, между зависимыми случайными величинами существует корреляционная связь. Количественной мерой взаимосвязи случайных величин является коэффициент корреляции:

 =  / . (7)

Приближенным аналогом (точечной оценкой) коэффициента корреляции, который может быть вычислен по выборке, является выборочный коэффициент корреляции:

 = ( ) / . (8)

Он обладает свойствами теоретического коэффициента корреляции приведенными в п. 1.5, притом свойства 2 и 3 выполняются лишь в асимптотическом смысле (при ). В формуле (8) известны все элементы, кроме выражения , входящего в приближенное представление корреляционного момента. Для его вычисления составляется корреляционная таблица, которая заполняется следующим образом. В исходной неупорядоченной парной выборке берется очередная пара (x_i, y_i). Определяется, в какой из пяти интервалов диапазона х-выборки попадает x_i, а затем в какой из пяти интервалов диапазона у-выборки попадает у_i. На пересечении соответствующих столбца и строки ставится отметка I. Когда все пары выборки пройдены, вычисляется относительная частота двумерного выборочного распределения w_pq как результат деления количества отметок на объем выборки. В клетках, оставшихся пустыми, w_pq = 0. Очевидно, что .

X Y
		[z0x, z1x]	[z1x, z2x]	[z2x, z3x]	[z3x, z4x]	[z4x, z5x]
	[z0у, z1у]
	[z1у, z2у]
	[z2у, z3у]
	[z3у, z4у]
	[z4у, z5у]

С использованием корреляционной таблицы вычисляем  =   =  . Подставив найденное значение в формулу (8) и определив величину выборочного коэффициента корреляции, необходимо сделать вывод о наличии и величине возможной взаимосвязи генеральных совокупностей Х и Y.