Нормированная корреляционная функция

 =  /( (t₁) (t₂)) – называется нормированной корреляционной функцией, здесь (t) = (D_x(t))½.

Докажем, что | | ≤ 1. Это следует из того, что при фиксированных t₁ и t₂ величина равна коэффициенту корреляции двух случайных величин, Х(t₁) и Х(t₂), соответствующее свойство которого доказано в пункте 5.3.

Используя свойство 1 корреляционной функции, получим:

 =  / D_x(t) = 1.

Нормированная корреляционная функция имеет следующий вероятностный смысл: чем ближе | | к 1, тем линейная связь между сечениями Х(t₁) и Х(t₂) сильнее; чем ближе | | к 0, тем эта связь слабее.

Пример. Пусть X(t) =  N(a, σ). Найдем m_x(t), D_x(t), , .

Согласно свойству 2 математического ожидания и свойству 3 дисперсии приходим к соотношениям:

m_x(t) = M[ N(a, σ)] =  M[N(a, σ)] =  a,

D_x(t) = D[ N(a, σ)] =  D[N(a, σ)] =  σ².

Имеем далее

 =  N(a, σ)– m_x(t) =  (N(a, σ) – a) =  (a, σ).

Тогда по свойству 4 корреляционной функции получим:

 = M[ ] = M[ (a, σ) (a, σ)] =

 =  М[ (a, σ)] =  σ².

В результате  =  /( (t₁) (t₂)) = 1.

Из последнего равенства следует, что случайные процессы Х(t₁) и Х(t₂) линейно зависимы.

Взаимная корреляционная функция и ее свойства

Для оценки степени зависимости двух случайных процессов X(t) и Y(t) вводится взаимная корреляционная функция

 = M[ ].

Случайные процессы X(t) и Y(t) называют коррелированными, если ≠0 для некоторых t₁, t₂, и некоррелированными, если  = 0 для всех t₁, t₂.

Свойства .

1.  =  .

2. Пусть X₁(t) = X(t)+φ(t), Y₁(t) = Y(t)+ (t), где φ(t), (t) – неслучайные функции. Тогда  =  .

3. Пусть X₁(t) = X(t)φ(t), Y₁(t) = Y(t) (t), где φ(t), (t) – неслучайные функции. Тогда  = φ(t₁) (t₂) .

Свойства 1–3 доказываются точно так же, как аналогичные свойства для корреляционной функции.

Нормированная взаимная корреляционная функция

 =  /( (t₁) (t₂)) – называется нормированной взаимной корреляционной функцией, здесь

(t) = (D_x(t))^½, ( ) = (D (t))^½.

Нормированная взаимная корреляционная функция имеет те же свойства, что и нормированная корреляционная функция, в частности, | | ≤ 1.

Характеристики суммы случайных функций

Пусть X(t) и Y(t) – случайные функции. Положим Z(t) = X(t) + + Y(t). Тогда по свойству 3 математического ожидания имеем m (t) = m (t) + m (t).

Cправедливо утверждение:

 =  + + + .

Доказательство. По определению

 = M[ ]. (15)

Найдем выражение для и подставим его в правую часть равенства (15). Для этого докажем, что  =  + . Действительно  = Z(t) – m_z(t) = X(t)+ Y(t) – M[X(t)+ Y(t)]= + + . Подставляя в (15) и привлекая свойство 3 математического ожидания, получим:

 = M[( + )( + )] = M[ +

+  + + ] = M[ ] +

+ M[ ]+M[ ]+M[ ].

Согласно определениям корреляционной функции и взаимной корреляционной функции утверждение доказано.

Следствие 1. Пусть X(t) и Y(t) – некоррелированные случайные функции (т.е.  = 0 для всех t₁, t₂).

Тогда  =  + , D_z(t) = D_x(t)+D_y(t).

В самом деле, первое равенство следствия 1 вытекает из доказанного утверждения при  =   = 0, второе следует из первого при t₁ = t₂ = t.

Следствие 2. Пусть в условиях следствия 1 Y(t) ≡ Y – случайная величина. Тогда  =  + D_y. Доказательство следует из формулы  = M[ ] = D_y и следствия 1.

Пример. Пусть X(t) = tU, Y(t) = t²V, где U и V – некорре-лированные случайные величины (  = 0), причем M(U) = 3, M(V) = 5, D(U) = 6, D(V) = 0.2. Найдем m_z(t), D_z(t), , где Z(t) = X(t) + Y(t).

Согласно свойствам математического ожидания M[Z(t)] = M[X(t)] + M[Y(t)] = 3t + 5t². Из следствия 1 получим  = + . Вычислим и .

Имеем  = M[ ] = M[t₁ t₂ ] = 

 = t₁ t₂ M[ ] = t₁ t₂ D(U) = 6 t₁ t₂. Аналогичным образом получим  = 0.2(t₁ t₂)². Следовательно,  = 6 + + 0.2 (t₁ t₂)², D_z(t) =   = 6t²+0.2t⁴.