Птицы у реки

ЗАДАЧА

У одного арабского математика XI века находим следующую задачу.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной – 30 локтей, другой – 20 локтей; расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно.

Рис. 4.

На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

РЕШЕНИЕ

Из схематического чертежа (рис. 5), пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем:

AB² = 30² + x², AC² = 20² + (50 – x)².

Рис. 5.

Но АВ = АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния в одинаковое время. Поэтому

30² + x² = 20² + (50 – x)².

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем уравнение первой степени 100x = 2000, откуда х = 20. Рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

<Paaaa

Прогулка

ЗАДАЧА

– Зайдите ко мне завтра днем, – сказал старый доктор своему знакомому.

– Благодарю вас. Я выйду в три часа. Может быть, и вы надумаете прогуляться, так выходите в то же время, встретимся на полпути.

– Вы забываете, что я старик, шагаю в час всего только 3 км, а вы, молодой человек, проходите при самом медленном шаге 4 км в час. Не грешно бы дать мне небольшую льготу.

– Справедливо. Так как я прохожу больше вас на 1 км в час, то, чтобы уравнять нас, дам вам этот километр, т. е. выйду на четверть часа раньше. Достаточно?

– Очень любезно с вашей стороны, – поспешил согласиться старик.

Молодой человек так и сделал: вышел из дому в три четверти третьего и шел со скоростью 4 км в час. А доктор вышел ровно в три и делал по 3 км в час. Когда они встретились, старик повернул обратно и направился домой вместе с молодым другом.

Только возвратившись к себе домой, сообразил молодой человек, что из-за льготной четверти часа ему пришлось в общем итоге пройти не вдвое, а вчетверо больше, чем доктору.

Как далеко от дома доктора до дома его молодого знакомого?

РЕШЕНИЕ

Обозначим расстояние между домами через х (км). Молодой человек всего прошел 2х, а доктор вчетверо меньше, т. е. . До встречи доктор прошел половину пройденного им пути, т. е. , а молодой человек – остальное, т. е. . Свою часть пути доктор прошел в часа, а молодой человек – в часа, причем мы знаем, что он был в пути на часа дольше, чем доктор.

Имеем уравнение

,

откуда x = 2,4 км.

От дома молодого человека до дома доктора 2,4 км.

<Paaaa

Артель косцов

Известный физик А. В. Цингер в своих воспоминаниях о Л. Н. Толстом рассказывает о следующей задаче, которая очень нравилась великому писателю:

"Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы.

Сколько косцов было в артели?".

Рис. 6.

РЕШЕНИЕ

В этом случае, кроме главного неизвестного – числа косцов, которое мы обозначим через х, – удобно ввести еще и вспомогательное, именно – размер участка, скашиваемого одним косцом в 1 день; обозначим его через у. Хотя задача и не требует его определения, оно облегчит нам нахождение главного неизвестного.

Выразим через х и у площадь большого луга. Луг этот косили полдня х косцов; они скосили .

Вторую половину дня его косила только половина артели, т. е. косцов; они скосили

.

Так как к вечеру скошен был весь луг, то площадь его равна

.

Выразим теперь через х и у площадь меньшего луга. Его полдня косили косцов и скосили площадь . Прибавим недокошенный участок, как раз равный у (площади, скашиваемой одним косцом в 1 рабочий день), и получим площадь меньшего луга:

.

Остается перевести на язык алгебры фразу: "первый луг вдвое больше второго", – и уравнение составлено:

.

Сократим дробь в левой части уравнения на у; вспомогательное неизвестное благодаря этому исключается, и уравнение принимает вид

, или 3х = 2х + 8,

откуда x = 8.

В артели было 8 косцов.

Рис. 7.

После напечатания первого издания "Занимательной алгебры" проф. А. В. Цингер прислал мне подробное и весьма интересное сообщение, касающееся этой задачи. Главный эффект задачи, по его мнению, в том, что "она совсем не алгебраическая, а арифметическая и притом крайне простая, затрудняющая только своей нешаблонной формой".

"История этой задачи такова, – продолжает проф. А. В. Цингер. – В Московском университете на математическом факультете в те времена, когда там учились мой отец и мой дядя И. И. Раевский (близкий друг Л. Толстого), среди прочих предметов преподавалось нечто вроде педагогики. Для этой цели студенты должны были посещать отведенную для университета городскую народную школу и там в сотрудничестве с опытными искусными учителями упражняться в преподавании. Среди товарищей Цингера и Раевского был некий студент Петров, по рассказам – чрезвычайно одаренный и оригинальный человек. Этот Петров (умерший очень молодым, кажется, от чахотки) утверждал, что на уроках арифметики учеников портят, приучая их к шаблонным задачам и к шаблонным способам решения. Для подтверждения своей мысли Петров изобретал задачи, которые вследствие нешаблонности очень затрудняли "опытных искусных учителей", но легко решались более способными учениками, еще не испорченными учебой. К числу таких задач (их Петров сочинил несколько) относится и задача об артели косцов. Опытные учителя, разумеется, легко могли решать ее при помощи уравнения, но простое арифметическое решение от них ускользало. Между тем, задача настолько проста, что привлекать для ее решения алгебраический аппарат совсем не стоит.

Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то ясно, что в полдня пол-артели скашивает луга. Следовательно, на малом лугу остался нескошенным участок в . Если один косец в день скашивает луга, а скошено было , то косцов было 8.

Толстой, всю жизнь любивший фокусные, не слишком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет. Когда об этой задаче пришлось беседовать мне с Толстым – уже стариком, его особенно восхитило то, что задача делается гораздо яснее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом (рис. 7)".

Ниже нам встретятся еще несколько задач, которые при некоторой сообразительности проще решаются арифметически, чем алгебраически.

<Paaaa