Ревизия магазина

ЗАДАЧА

При ревизии торговых книг магазина одна из записей оказалась залитой чернилами и имела такой вид:

Невозможно было разобрать число проданных метров, но было несомненно, что число это не дробное; в вырученной сумме можно было различить только последние три цифры, да установить еще, что перед ними были три какие-то другие цифры.

Может ли ревизионная комиссия по этим следам установить запись?

РЕШЕНИЕ

Обозначим число метров через х. Вырученная сумма выразится в копейках через

4936x.

Число, выражаемое тремя залитыми цифрами в записи денежной суммы, обозначим через у. Это, очевидно, число тысяч копеек, а вся сумма в копейках изобразится так:

1000y + 728.

Имеем уравнение

4936x  = 1000y + 728,

или, после сокращения на 8,

617x – 125y = 91.

В этом уравнении х и у – числа целые и притом у не больше 999, так как более чем из трех цифр оно состоять не может. Решаем уравнение, как раньше было указано:

125у = 617x – 91,

.

(Здесь мы приняли , так как нам выгодно иметь возможно меньшие остатки. Дробь

есть целое число, а так как 2 не делится на 125, то должно быть целым числом, которое мы и обозначили через t.)

Далее из уравнения

имеем:

17 – 4х = 125t,

,

где

,

и, следовательно,

x = 125t₁ – 27

y = 617t₁ – 134. [Обратите внимание на то, что коэффициенты при t₁ равны коэффициентам при х и у в исходном уравнении 617х – 125y = 91, причем у одного из коэффициентов при t₁ знак обратный. Это не случайность: можно доказать, что так должно быть всегда, если коэффициенты при х и у – взаимно простые.]

Мы знаем, что

.

Следовательно,

,

откуда

и .

Очевидно, для t₁ существует только одно целое значение:

t₁ = 1,

и тогда

х = 98, у = 483,

т. е. было отпущено 98 метров на сумму 4837 р. 28 к. Запись восстановлена.

<Paaaa

Покупка почтовых марок

ЗАДАЧА

Требуется на один рубль купить 40 штук почтовых марок – копеечных, 4-копеечных и 12-копеечных. Сколько окажется марок каждого достоинства?

РЕШЕНИЕ

В этом случае у нас имеется два уравнения с тремя неизвестными:

где x – число копеечных марок, у – 4-копеечных, z – 12-копеечных.

Вычитая из первого уравнения второе, получим одно уравнение с двумя неизвестными:

.

Находим у:

.

Очевидно, – число целое. Обозначим его через t. Имеем:

Подставляем выражения для у и z во второе из исходных уравнений:

;

получаем:

x = 20 + 8t.

Так как то нетрудно установить границы для t:

откуда заключаем, что для t возможны только два целых значения:

t = 0 и t = 1.

Соответствующие значения х, у и z таковы:

t =	0	1	Проверка: 20 · 1 + 20 · 4 + 0 · 12 = 100, 28 · 1  + 9 · 4 + 3 · 12 = 100.
x =	20	28
y =	20	9
z =	0	3

Итак, покупка марок может быть произведена только двумя способами (а если потребовать, чтобы была куплена хотя бы одна марка каждого достоинства, – то только одним способом).

Следующая задача – в том же роде.

<Paaaa