На велодромe
ЗАДАЧА
По круговой дороге велодрома едут два велосипедиста с неизменными скоростями. Когда они едут в противоположных направлениях, то встречаются каждые 10 секунд; когда же едут в одном направлении, то один настигает другого каждые 170 секунд. Какова скорость каждого велосипедиста, если длина круговой дороги 170 м?
РЕШЕНИЕ
Если скорость первого велосипедиста х, то в 10 секунд он проезжает 10х метров. Второй же, двигаясь ему навстречу, проезжает от встречи до встречи остальную часть круга, т. е. 170 – 10x метров. Если скорость второго у, то это составляет 10у метров; итак,
170 – 10x = 10y.
Если же велосипедисты едут один вслед другому, то в 170 секунд первый проезжает 170x метров, а второй 170у метров. Если первый едет быстрее второго, то от одной встречи до другой он проезжает на один круг больше второго, т. е.
170х – 170у = 170.
После упрощения этих уравнений получаем:
х + у = 17, х – у = 1,
откуда
х = 9, у = 8 (метров в секунду).
<Paaaa
Состязание мотоциклов
ЗАДАЧА
При мотоциклетных состязаниях одна из трех стартовавших одновременно машин, делавшая в час на 15 км меньше первой и на 3 км больше третьей, пришла к конечному пункту на 12 минут позже первой и на 3 минуты раньше третьей. Остановок в пути не было.
Требуется определить;
а) Как велик участок пути?
б) Как велика скорость каждой машины?
в) Какова продолжительность пробега каждой машины?
РЕШЕНИЕ
Хотя требуется определить семь неизвестных величин, мы обойдемся при решении задачи только двумя: составим систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Обозначим скорость второй машины через х, тогда скорость первой выразится через x + 15, а третьей – через x – 3.
Длину участка пути обозначим буквой у. Тогда продолжительность пробега обозначится:
для первой |
машины |
через |
|
для второй |
машины |
через |
|
для третьей |
машины |
через |
|
,
,
.Мы знаем, что вторая машина была в пути на 12 минут (т. е. на часа) дольше первой. Поэтому
.
Третья
машина была в пути
на
3 минуты (т. е. на
часа)
больше второй. Следовательно,
.
Второе из этих уравнений умножим на 4 и вычтем из первого:
.
Разделим все члены этого уравнения на у (эта величина, как мы знаем, не равна нулю) и после этого освободимся от знаменателей. Мы получим:
(х + 15) (x – 3) – x (x – 3) – 4x (x + 15) + 4 (х + 15) (х – 3) = 0.
или после раскрытия скобок и приведения подобных членов:
3x – 225 = 0,
откуда
х = 75.
Зная х, находим у из первого уравнения:
,
откуда у = 90.
Итак, скорости машин определены:
90, 75 и 72 километра в час.
Длина всего пути = 90 км.
Разделив длину пути на скорость каждой машины, найдем продолжительность пробегов:
первой машины |
1 час, |
второй машины |
1 час 12 мин., |
третьей машины |
1 час 15 мин. |
Таким образом, все семь неизвестных определены.
<Paaaa
Средняя скорость езды
ЗАДАЧА
Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60 километров в час и возвратился со скоростью 40 километров в час. Какова была средняя скорость его езды?
РЕШЕНИЕ
Обманчивая простота задачи вводит многих в заблуждение. Не вникнув в условия вопроса, вычисляют среднее арифметическое между 60 и 40, т. е. находят полусумму
.
Это "простое" решение было бы правильно, если бы поездка в одну сторону и в обратном направлении длилась одинаковое время. Но ясно, что обратная поездка (с меньшей скоростью) должна была отнять больше времени, чем езда туда. Учтя это, мы поймем, что ответ 50 – неверен.
И действительно, уравнение дает другой ответ. Составить уравнение нетрудно, если ввести вспомогательное неизвестное – именно величину l расстояния между городами. Обозначив искомую среднюю скорость через х, составляем уравнение
.
Так как l не равно нулю, можем уравнение разделить на l; получаем:
,
откуда
.
Итак, правильный ответ не 50 километров в час, а 48.
Если бы мы решали эту же задачу в буквенных обозначениях (туда автомобиль ехал со скоростью а километров в час, обратно – со скоростью b километров в час), то получили бы уравнение
,
откуда для х получаем значение
.
Эта величина называется средним гармоническим для величин а и b.
Итак, средняя скорость езды выражается не средним арифметическим, а средним гармоническим для скоростей движения. Для положительных а и b среднее гармоническое всегда меньше, чем их среднее арифметическое
,
что мы и видели на численном примере (48 меньше, чем 50).
<Paaaa