Пароход и плоты
ЗАДАЧА
Из города А в город В, расположенный ниже по течению реки, пароход шел (без остановок) 5 часов. Обратно, против течения, он шел (двигаясь с той же собственной скоростью и также не останавливаясь) 7 часов. Сколько часов идут из A в В плоты (плоты движутся со скоростью течения реки)?
РЕШЕНИЕ
Обозначим
через х
время (в часах), нужное пароходу для
того, чтобы пройти расстояние от A
до В
в стоячей воде (т.е. при движении с
собственной скоростью), а через у
–
время движения плотов. Тогда за час
пароход проходит – расстояния АВ,
а плоты (течение)
этого
расстояния. Поэтому вниз по реке пароход
проходит за час
расстояния
АВ,
а
вверх (против течения)
.
Мы же знаем из условия задачи, что вниз
по реке пароход проходит за час
расстояния,
а вверх
.
Получаем систему
Заметим, что для решения этой системы не следует освобождаться от знаменателей: нужно просто вычесть из первого уравнения второе. В результате мы получим:
,
откуда y = 35. Плоты идут из A в В 35 часов.
<Paaaa
Две жестянки кофе
ЗАДАЧА
Две жестянки, наполненные кофе, имеют одинаковую форму и сделаны из одинаковой жести. Первая весит 2 кг и имеет в высоту 12 см; вторая весит 1 кг и имеет в высоту 9,5 см. Каков чистый вес кофе в жестянках?
РЕШЕНИЕ
Обозначим вес содержимого большей жестянки через х, меньшей – через у. Вес самих жестянок обозначим соответственно через z и t. Имеем уравнения
Так как веса содержимого полных жестянок относятся, как их объемы, т. е. как кубы их высот [Пропорцией этой позволительно пользоваться лишь в том случае, когда стенки жестянок не слишком толсты (так как наружная и внутренняя поверхности жестянок, строго говоря, не подобны и, кроме того, высота внутренней полости банки, строго говоря, отличается от высоты самой банки)], то
.
Веса же пустых жестянок относятся, как их полные поверхности, т. е. как квадраты их высот. Поэтому
.
Подставив значения x и z в первое уравнение, получаем систему
Решив ее, узнаем:
И следовательно,
х = 1,92, z = 0,08.
Вес кофе без упаковки: в большей жестянке 1,92 кг, в меньшей – 0,94 кг.
<Paaaa
Вечеринка
ЗАДАЧА
На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга – с восемью, Вера – с девятью и так далее до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?
РЕШЕНИЕ
Задача решается очень просто, если удачно выбрать неизвестное. Будем искать число не танцоров, а танцорок, которое обозначим через х:
1-я, Мария, |
танцевала |
с 6 + 1 танцорами |
2-я, Ольга, |
танцевала |
c 6 + 2 танцорами |
3-я. Вера, |
танцевала |
c 6 + 3 танцорами |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||
х-я, Нина, |
танцевала |
c 6 + х танцорами |
Имеем уравнение
x + (6 + x) = 20,
откуда
x = 7,
а следовательно, число танцоров –
20 – 7 = 13.
<Paaaa
Морская разведка
ЗАДАЧА 1
Разведчику (разведывательному кораблю), двигавшемуся в составе эскадры, дано задание обследовать район моря на 70 миль в направлении движения эскадры. Скорость эскадры – 35 миль в час, скорость разведчика – 70 миль в час. Требуется определить, через сколько времени разведчик возвратится к эскадре.
Рис. 10.
РЕШЕНИЕ
Обозначим искомое число часов через х. За это время эскадра успела пройти 35x миль, разведывательный же корабль 70х. Разведчик прошел вперед 70 миль и часть этого пути обратно, эскадра же прошла остальную часть того же пути. Вместе они прошли путь в 70х + 35х, равный 2 · 70 миль. Имеем уравнение
70x + 35x = 140,
откуда
часов. Разведчик возвратится к эскадре через 1 час 20 минут.
ЗАДАЧА 2
Разведчик получил приказ произвести разведку впереди эскадры по направлению ее движения. Через 3 часа судно это должно вернуться к эскадре. Спустя сколько времени после оставления эскадры разведывательное судно должно повернуть назад, если скорость его 60 узлов, а скорость эскадры 40 узлов?
РЕШЕНИЕ
Пусть разведчик должен повернуть спустя х часов; значит, он удалялся от эскадры х часов, а шел навстречу ей 3 – х часов. Пока все корабли шли в одном направлении, разведчик успел за х часов удалиться от эскадры на разность пройденных ими путей, т. е. на
60x – 40x = 20x.
При возвращении разведчика он прошел путь навстречу эскадре 60 (3 – х), сама же эскадра прошла 40 (3 – х). Тот и другой прошли вместе 10x. Следовательно,
60 (3 – x) + 40 (3 – x) = 20x.
откуда
.
Разведчик должен изменить курс на обратный спустя 2 часа 30 мин. после того, как он покинул эскадру.
<Paaaa