Задача Эйлера

Стендаль в "Автобиографии" рассказывает следующее о годах своего учения:

"Я нашел у него (учителя математики) Эйлера и его задачу о числе яиц, которые крестьянка несла на рынок... Это было для меня открытием. Я понял, чтó значит пользоваться орудием, называемым алгеброй. Но, черт возьми, никто мне об этом не говорил..."

Вот эта задача из "Введения в алгебру" Эйлера, произведшая на ум молодого Стендаля столь сильное впечатление.

Две крестьянки принесли на рынок вместе 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала тогда второй: "Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров". Вторая ответила: "А будь твои яйца у меня, я бы выручила за них 6⅔ крейцера". Сколько яиц было у каждой?

РЕШЕНИЕ

Пусть у первой крестьянки x яиц, тогда у второй 100 – x. Если бы первая имела 100 – x яиц, она выручила бы, мы знаем, 15 крейцеров. Значит, первая крестьянка продавала яйца по цене за штуку.

Таким же образом находим, что вторая крестьянка продавала яйца по цене за штуку.

Теперь определяется действительная выручка каждой крестьянки:

первой: ,

второй: .

Так как выручки обеих одинаковы, то

.

После преобразований имеем:

x² + 160x – 8000 = 0,

откуда

x₁ = 40, x₂ = –200.

Отрицательный корень в данном случае не имеет смысла; у задачи – только одно решение: первая крестьянка принесла 40 яиц и, значит, вторая 60.

Задача может быть решена еще другим, более кратким способом. Этот способ гораздо остроумнее, но зато и отыскать его значительно труднее.

Предположим, что вторая крестьянка имела в k раз больше яиц, чем первая. Выручили они одинаковые суммы; это значит, что первая крестьянка продавала свои яйца в k раз дороже, чем вторая. Если бы перед торговлей они поменялись яйцами, то первая крестьянка имела бы в k раз больше яиц, чем вторая, и продавала бы их в k раз дороже. Это значит, что она выручила бы в k² больше денег, чем вторая. Следовательно, имеем:

;

отсюда

k = .

Теперь остается 100 яиц разделить в отношении 3 : 2. Легко находим, что первая крестьянка имела 40, а вторая 60 яиц.

<Paaaa

Громкоговорители

ЗАДАЧА

На площади установлено 5 громкоговорителей, разбитых на две группы: в одной 2, в другой 3 аппарата. Расстояние между группами 50 м. Где надо стать, чтобы звуки обеих групп доносились с одинаковой силой?

Рис. 16.

РЕШЕНИЕ

Если расстояние искомой точки от меньшей группы обозначим через х, то расстояние ее от большей группы выразится через 50 – х (рис. 16). Зная, что сила звука ослабевает пропорционально квадрату расстояния, имеем уравнение

,

которое после упрощения приводится к виду

x² + 200x – 5000 = 0.

Решив его, получаем два корня:

x₁ = 22,5,

x₂ = –222,5.

Положительный корень прямо отвечает на вопрос задачи: точка равной слышимости расположена в 22,5 м от группы из двух громкоговорителей и, следовательно, в 27,5 м от группы трех аппаратов.

Но что означает отрицательный корень уравнения? Имеет ли он смысл?

Безусловно. Знак минус означает, что вторая точка равной слышимости лежит в направлении, противоположном тому, которое принято было за положительное при составлении уравнения.

Отложив от местонахождения двух аппаратов в требуемом направлении 222,5 м, найдем точку, куда звуки обеих групп громкоговорителей доносятся с одинаковой силой. От группы из трех аппаратов точка эта отстоит в 222,5 м + 50 м = 272,5 м.

Итак, нами разысканы две точки равной слышимости – из тех, что лежат на прямой, соединяющей источники звука. Других таких точек на этой линии нет, но они имеются вне ее. Можно доказать, что геометрическое место точек, удовлетворяющих требованию нашей задачи, есть окружность, проведенная через обе сейчас найденные точки, как через концы диаметра. Окружность эта ограничивает, как видим, довольно обширный участок (заштрихованный на чертеже), внутри которого слышимость группы двух громкоговорителей пересиливает слышимость группы трех аппаратов, а за пределами этого круга наблюдается обратное явление.

<Paaaa