Коровы на лугу

ЗАДАЧА

"При изучении наук задачи полезнее правил", – писал Ньютон в своей "Всеобщей арифметике" и сопровождал теоретические указания рядом примеров. В числе этих упражнений находим задачу о быках, пасущихся на лугу, – родоначальницу особого типа своеобразных задач наподобие следующей.

Рис. 8.

"Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня, а 30 коров – в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву луга в 96 дней?".

Задача эта послужила сюжетом для юмористического рассказа, напоминающего чеховский "Репетитор". Двое взрослых, родственники школьника, которому эту задачу задали для решения, безуспешно трудятся над нею и недоумевают:

– Выходит что-то странное, – говорит один из решающих: – если в 24 дня 70 коров поедают всю траву луга, то сколько коров съедят ее в 96 дней? Конечно, от 70, т. е. коров... Первая нелепость! А вот вторая: 30 коров поедают траву в 60 дней; сколько коров съедят ее в 96 дней? Получается еще хуже: коровы. Кроме того: если 70 коров поедают траву в 24 дня, то 30 коров употребляют на это 56 дней, а вовсе не 60, как утверждает задача.

– А приняли вы в расчет, что трава все время растет? – спрашивает другой.

Замечание резонное: трава непрерывно растет, и если этого не учитывать, то не только нельзя решить задачи, но и само условие ее будет казаться противоречивым.

Как же решается задача?

РЕШЕНИЕ

Введем и здесь вспомогательное неизвестное, которое будет обозначать суточный прирост травы в долях ее запаса на лугу. В одни сутки прирастает у, в 24 дня – 24у; если общий запас принять за 1, то в течение 24 дней коровы съедают

1 + 24у.

В сутки все стадо (из 70 коров) съедает

,

а одна корова съедает

.

Подобным же образом из того, что 30 коров поели бы траву того же луга в 60 суток, выводим, что одна корова съедает в сутки

.

Но количество травы, съедаемое коровой в сутки, для обоих стад одинаково. Поэтому

,

откуда

.

Найдя у (величину прироста), легко уже определить, какую долю первоначального запаса травы съедает одна корова в сутки:

.

Наконец, составляем уравнение для окончательного решения задачи: если искомое число коров х, то

,

откуда х = 20.

20 коров поели бы всю траву в 96 дней.

<Paaaa

Задача Ньютона

Рассмотрим теперь ньютонову задачу о быках, по образцу которой составлена сейчас рассмотренная.

Задача, впрочем, придумана не самим Ньютоном; она является продуктом народного математического творчества.

"Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: га, 10 га и 24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй – 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?".

РЕШЕНИЕ

Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение недели прирастает травы , а в течение 4 недель того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной

гектаров. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю часть, т. е. запас, имеющийся на площади

гектаров.

Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели, из данных для второго луга:

недельный прирост на	1 га	=	у,
9-недельный прирост на	1 га	=	9y,
9-недельный прирост на	10 га	=	90у.

Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна

10 + 90y.

Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели, –

гектаров. Обе нормы прокормления должны быть одинаковы:

.

Решив это уравнение, находим .

Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели:

гектаров. Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем:

,

откуда x = 36. Третий луг может прокормить в течение 18 недель 36 быков.

<Paaaa