Когда без алгебры проще

Наряду со случаями, когда алгебра оказывает арифметике существенные услуги, бывают и такие, когда вмешательство алгебры вносит лишь ненужное усложнение. Истинное знание математики состоит в умении так распоряжаться математическими средствами, чтобы избирать всегда самый прямой и надежный путь, не считаясь с тем, относится ли метод решения задачи к арифметике, алгебре, геометрии и т. п. Полезно будет поэтому рассмотреть случай, когда привлечение алгебры способно лишь запутать решающего. Поучительным примером может служить следующая задача.

Найти наименьшее из всех тех чисел, которые при делении

на	2	дают	в	остатке	1
"	3	"	"	"	2
"	4	"	"	"	3
"	5	"	"	"	4
"	6	"	"	"	5
"	7	"	"	"	6
"	8	"	"	"	7
"	9	"	"	"	8

РЕШЕНИЕ

Задачу эту предложили мне со словами: "Как вы решили бы такую задачу? Здесь слишком много уравнений; не выпутаться из них".

Ларчик просто открывается; никаких уравнений, никакой алгебры для решения задачи не требуется – она решается несложным арифметическим рассуждением.

Прибавим к искомому числу единицу. Какой остаток даст оно тогда при делении на 2? Остаток 1 + 1 = 2; другими словами, число разделится на 2 без остатка.

Точно так же разделится оно без остатка и на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8 и на 9. Наименьшее из таких чисел есть 9 · 8 · 7 · 5 = 2520, а искомое число равно 2519, что нетрудно проверить испытанием.

<Paaaa

Глава четвертая. ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

<Paaaa

Покупка свитера

ЗАДАЧА

Вы должны уплатить за купленный в магазине свитер 19 руб. У вас одни лишь трехрублевки, у кассира – только пятирублевки. Можете ли вы при наличии таких денег расплатиться с кассиром и как именно?

Вопрос задачи сводится к тому, чтобы узнать, сколько должны вы дать кассиру трехрублевок, чтобы, получив сдачу пятирублевками, уплатить 19 рублей. Неизвестных в задаче два – число (х) трехрублевок и число (у) пятирублевок. Но можно составить только одно уравнение:

3х – 5y = 19.

Хотя одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество решений, но отнюдь еще не очевидно, что среди них найдется хоть одно с целыми положительными х и у (вспомним, что это – числа кредитных билетов). Вот почему алгебра разработала метод решения подобных "неопределенных" уравнений. Заслуга введения их в алгебру принадлежит первому европейскому представителю этой науки, знаменитому математику древности Диофанту, отчего такие уравнения часто называют "диофантовыми".

РЕШЕНИЕ

На приведенном примере покажем, как следует решать подобные уравнения.

Надо найти значения х и у в уравнении

3х – 5y = 19,

зная при этом, что х и у – числа целые и положительные.

Уединим то неизвестное, коэффициент которого меньше, т. е. член 3х; получим:

3х = 19 + 5y,

откуда

.

Так как х, 6 и у – числа целые, то равенство может быть верно лишь при условии, что есть также целое число. Обозначим его буквой t. Тогда

х = 6 + y + t,

где

,

и, значит,

3t = 1 + 2у, 2y = 3t – 1.

Из последнего уравнения определяем у:

.

Так как у и t – числа целые, то и должно быть некоторым целым числом t₁. Следовательно,

y = t + t₁,

причем

t₁ =  ,

откуда

2t₁ = t – 1 и t = 2t₁ + 1.

Значение t = 2t₁ + 1 подставляем в предыдущие равенства:

y = t + t₁ = (2t₁ + 1) + t₁ = 3t₁ + 1, х = 6 + y + t = 6 + (3t₁ + 1)+(2t₁ + 1) = 8 + 5t₁.

Итак, для х и у мы нашли выражения [Строго говоря, мы доказали только то, что всякое целочисленное решение уравнения 3х – 5у = 19 имеет вид x = 8 + 5 t₁, y = l + 3 t₁, где t₁ – некоторое целое число. Обратное (т. е. то, что при любом целом t₁ мы получаем некоторое целочисленное решение данного нам уравнения) доказано не было. Однако в этом легко убедиться, проводя рассуждения в обратном порядке или подставив найденные значения х и у в первоначальное уравнение.]

x = 8 + 5t₁, y = 1 + 3t₁.

Числа х и у, мы знаем, – не только целые, но и положительные, т. е. бóльшие чем 0. Следовательно,

8 + 5t₁ > 0, 1 + 3t₁ > 0.

Из этих неравенств находим:

5t₁ > –8 и t₁ > – , 3t₁ > –1 и t₁ > – .

Этим величина t₁ ограничивается; она больше чем (и, значит, подавно больше чем ). Но так как t₁ – число целое, то заключаем, что для него возможны лишь следующие значения:

t₁ = 0, 1, 2, 3, 4, ...

Соответствующие значения для х и у таковы:

x = 8 + 5t₁ = 8, 13, 18, 23, ..., y = 1 + 3t₁ = 1, 4, 7, 10, ...

Теперь мы установили, как может быть произведена уплата:

вы либо платите 8 трехрублевок, получая одну пятирублевку сдачи:

8 · 3 – 5 = 19,

либо платите 13 трехрублевок, получая сдачи 4 пятирублевки:

13 · 3 – 4 · 5 = 19

и т. д.

Теоретически задача имеет бесчисленный ряд решений, практически же число решений ограничено, так как ни у покупателя, ни у кассира нет бесчисленного множества кредитных билетов. Если, например, у каждого всего по 10 билетов, то расплата может быть произведена только одним способом: выдачей 8 трехрублевок и получением 5 рублей сдачи. Как видим, неопределенные уравнения практически могут давать вполне определенные пары решений.

Возвращаясь к нашей задаче, предлагаем читателю в качестве упражнения самостоятельно решить ее вариант, а именно рассмотреть случай, когда у покупателя только пятирублевки, а у кассира только трехрублевки. В результате получится такой ряд решений:

x = 5, 8, 11, ..., y = 2, 7, 12, ...

Действительно,

5 · 5 –  2 · 3 = 19, 8 · 5 –   7 · 3 = 19, 11 · 5 – 12 · 3 = 19, . . . . . . . . . . .

Мы могли бы получить эти результаты также и из готового уже решения основной задачи, воспользовавшись простым алгебраическим приемом. Так как давать пятирублевки и получать трехрублевки все равно, что "получать отрицательные пятирублевки" и "давать отрицательные трехрублевки", то новый вариант задачи решается тем же уравнением, которое мы составили для основной задачи:

3х – 5y = 19,

но при условии, что x и у – числа отрицательные. Поэтому из равенств

x = 8 + 5t₁, y = 1 + 3t₁.

мы, зная, что х < 0 и у < 0, выводим:

8 + 5t₁ < 0, 1 + 3t₁ < 0.

и, следовательно,

.

Принимая t₁ = –2, –3, –4 и т. д., получаем из предыдущих формул следующие значения для х и у:

t₁ = –2, –3, –4, x = –2, –7, –12, y = –5, –8, –11.

Первая пара решений, х = –2, у = –5, означает, что покупатель "платит минус 2 трехрублевки" и "получает минус 5 пятирублевок", т. е. в переводе на обычный язык – платит 5 пятирублевок и получает сдачи 2 трехрублевки. Подобным же образом истолковываем и прочие решения.

<Paaaa