Где устроить полустанок?

ЗАДАЧА

В стороне от прямолинейного участка железнодорожного пути, в 20 км от него, лежит селение В (рис. 21). Где надо устроить полустанок С, чтобы проезд от A до В по железной дороге AC и по шоссе СВ отнимал возможно меньше времени? Скорость движения по железной дороге 0,8, а по шоссе 0,2 километра в минуту.

Рис. 21.

РЕШЕНИЕ

Обозначим расстояние AD (от А до основания перпендикуляра BD к AD) через a, CD через х. Тогда AC = AD – CD = a – x, a CB= . Время, в течение которого поезд проходит путь АС, равно

.

Время прохождения пути СВ по шоссе равно

.

Общая продолжительность переезда из А в В равна

.

Эта сумма, которую обозначим через т, должна быть наименьшей.

Уравнение

представляем в виде

.

Умножив на 0,8, имеем:

.

Обозначив 0,8m – а через k и освободив уравнение от радикала, получаем квадратное уравнение

,

откуда

.

Так как k = 0,8m – a, то при наименьшем значении т достигает наименьшей величины и k, и обратно. [Следует иметь в виду, что k > 0, так как .] Но чтобы х было действительным, должно быть не меньше 96 000. Значит, наименьшая величина для есть 96 000. Поэтому m становится наименьшим, когда

,

откуда

,

и следовательно,

.

Полустанок должен быть устроен приблизительно в 5 км от точки D, какова бы ни была длина a = AD.

Но, разумеется, наше решение имеет смысл только для случаев, когда х < а, так как, составляя уравнение, мы считали выражение а – х числом положительным.

Если , то полустанка вообще строить не надо; придется вести шоссе прямо на станцию. Так же нужно поступать и в случаях, когда расстояние a короче 5,16 км.

На этот раз мы оказываемся предусмотрительнее, нежели уравнение. Если бы мы слепо доверились уравнению, нам пришлось бы в рассматриваемом случае построить полустанок за станцией, что было бы явной нелепостью: в этом случае х > а и потому время

,

в течение которого нужно ехать по железной дороге, отрицательно. Случай поучительный, показывающий, что при пользовании математическим орудием надо с должной осмотрительностью относиться к получаемым результатам, помня, что они могут потерять реальный смысл, если не выполнены предпосылки, на которых основывалось применение нашего математического орудия.

<Paaaa

Как провести шоссе?

ЗАДАЧА

Из приречного города А надо направлять грузы в пункт В, расположенный на а километров ниже по реке и в d километрах от берега (рис. 22). Как провести шоссе от В к реке, чтобы провоз грузов из А в В обходился возможно дешевле, если провозная плата с тонно-километра по реке вдвое меньше, чем по шоссе?

Рис. 22.

РЕШЕНИЕ

Обозначим расстояние AD через х и длину DB шоссе – через у: по предположению, длина АС равна а и длина ВС равна d.

Так как провоз по шоссе вдвое дороже, чем по реке, то сумма

х + 2у

должна быть согласно требованию задачи наименьшая. Обозначим это наименьшее значение через т. Имеем уравнение

х + 2у = m.

Но x = a – DC, а DC =  ; наше уравнение получает вид

,

или по освобождении от радикала:

.

Решаем его:

.

Чтобы у было действительным, (т – a)² должно быть не меньше 3d². Наименьшее значение (m – а)² равно 3d², и тогда

, т.е.

.

Но угол, синус которого равен , равен 60°. Значит, шоссе надо провести под углом в 60° к реке, каково бы ни было расстояние АС.

Здесь наталкиваемся снова на ту же особенность, с которой мы встретились в предыдущей задаче. Решение имеет смысл только при определенном условии. Если пункт расположен так, что шоссе, проведенное под углом в 60° к реке, пройдет по ту сторону города А, то решение неприложимо; в таком случае надо непосредственно связать пункт В с городом А шоссе, вовсе не пользуясь рекой для перевозки.

<Paaaa