Постройка дома
ЗАДАЧА
На месте разрушенного дома, от которого уцелела одна стена, желают построить новый. Длина уцелевшей стены – 12 м. Площадь нового дома должна равняться 112 кв. м. Хозяйственные условия работы таковы:
1) ремонт погонного метра стены обходится в 25% стоимости кладки новой;
2) разбор погонного метра старой стены и кладка из полученного материала новой стены стоит 50% того, во что обходится постройка погонного метра стены из нового материала.
Как при таких условиях наивыгоднейшим образом использовать уцелевшую стену?
Рис. 25.
РЕШЕНИЕ
Пусть
от прежней стены сохраняется х
метров, а остальные 12 – х
метров разбираются, чтобы из полученного
материала возвести заново часть стены
нового дома (рис. 25). Если стоимость
кладки погонного метра стены из нового
материала равна а,
то
ремонт
х
метров старой стены будет стоить
;
возведение участка длиной 12 – х
будет стоить
;
прочей части этой стены а [у – (12 – х)],
т. е. а (у + х – 12);
третьей стены ах,
четвертой ау.
Вся работа обойдется в
Последнее выражение достигает наименьшей величины тогда же, когда и сумма
7x + 8y.
Мы знаем, что площадь дома ху равна 112; следовательно,
7x · 8y = 56 · 112.
При постоянном произведении сумма 7x + 8y достигает наименьшей величины тогда, когда
7x = 8y,
откуда
.
Подставив это выражение для у в уравнение
xy = 112,
имеем:
.
А так как длина старой стены 12 м, то подлежит разборке только 0,7 м этой стены.
<Paaaa
Дачный участок
ЗАДАЧА
При постройке дачи нужно было отгородить дачный участок. Материала имелось на l погонных метров изгороди. Кроме того, можно было воспользоваться ранее построенным забором (в качестве одной из сторон участка). Как при этих условиях отгородить прямоугольный участок наибольшей площади?
Рис. 26.
РЕШЕНИЕ
Пусть длина участка (по забору) равна х, а ширина (т. е. размер участка в направлении, перпендикулярном к забору) равна у (рис. 26). Тогда для огораживания этого участка нужно х + 2у метров изгороди, так что
х + 2у = l.
Площадь участка равна
S = xy = y (l – 2y).
Она принимает наибольшее значение одновременно с величиной
2y (l – 2y).
(удвоенной площадью), которая представляет собой произведение двух множителей с постоянной суммой l. Поэтому для достижения наибольшей площади должно быть
2y = l – 2y.
откуда
.
Иначе говоря, х = 2у, т. е. длина участка должна быть вдвое больше его ширины.
<Paaaa
Желоб наибольшего сечения
ЗАДАЧА
Прямоугольный металлический лист (рис. 27) надо согнуть желобом с сечением в форме равнобокой трапеции. Это можно сделать различными способами, как видно из рис. 28. Какой ширины должны быть боковые полосы и под каким углом они должны быть отогнуты, чтобы сечение желоба имело наибольшую площадь (рис. 29)?
Рис. 27.
Рис. 28.
Рис. 29.
РЕШЕНИЕ
Пусть ширина листа l. Ширину отгибаемых боковых полос обозначим через х, а ширину дна желоба – через у. Введем еще одно неизвестное z, значение которого ясно из рис. 30.
Рис. 30.
Площадь трапеции, представляющей сечение желоба,
.
Задача свелась к определению тех значений х, у, z, при которых S достигает наибольшей величины; при этом сумма 2х + у (т. е. ширина листа) сохраняет постоянную величину l. Делаем преобразования:
.
Величина S2 становится наибольшей при тех же значениях х, у, z, что и 3S2, последнюю же можно представить в виде произведения
.
Сумма этих четырех множителей
,
т. е. неизменна. Поэтому произведение наших четырех множителей максимально, когда они равны между собой, т. е.
у + z = х + z и х + z = 3х – 3z
Из первого уравнения имеем:
y = х,
а
так как у + 2х = l,
то х = y = 
.
Из второго уравнения находим:
.
Далее, так как катет z равен половине гипотенузы х (рис. 30), то противолежащий этому катету угол равен 30°, а угол наклона боков желоба ко дну равен 90° + 30° = 120°.
Итак, желоб будет иметь наибольшее сечение, когда грани его согнуты в форме трех смежных сторон правильного шестиугольника.
<Paaaa