Покупка фруктов

ЗАДАЧА

На 5 руб. куплено 100 штук разных фруктов. Цены на фрукты таковы:

арбуз,	штука	. . . . . . . .	50	коп.
яблоки,	штука	. . . . . . . .	10	коп.
сливы,	штука	. . . . . . . .	1	коп.

Сколько фруктов каждого рода было куплено?

Рис. 12.

РЕШЕНИЕ

Обозначив число арбузов через х, яблок через у и слив через z, составляем два уравнения:

Вычтя из первого уравнения второе, получим одно уравнение с двумя неизвестными:

Дальнейший ход решения таков:

Из неравенств

и

устанавливаем, что

и, следовательно, t = 0. Поэтому

х = 1, у = 39.

Подставив эти значения х и у во второе уравнение, получаем: z = 60.

Итак, куплены были 1 арбуз, 39 яблок и 60 слив. Других комбинаций быть не может.

<Paaaa

Отгадать день рождения

ЗАДАЧА

Умение решать неопределенные уравнения дает возможность выполнить следующий математический фокус.

Вы предлагаете товарищу умножить число даты его рождения на 12, а номер месяца – на 31. Он сообщает вам сумму обоих произведений, и вы вычисляете по ней дату рождения.

Если, например, товарищ ваш родился 9 февраля, то он выполняет следующие выкладки:

9 · 12 = 108, 2 · 31 = 62, 108 + 62 = 170.

Это последнее число, 170, он сообщает сам, и вы определяете задуманную дату. Как?

РЕШЕНИЕ

Задача сводится к решению неопределенного уравнения

12х + 31у = 170

в целых и положительных числах, причем число месяца х не больше 31, а номер месяца у не больше 12.

Зная, что и , находим границы для t₁:

.

Следовательно,

t₁ = 0, x = 9, у  = 2.

Дата рождения 9-е число второго месяца, т. е. 9 февраля.

Можно предложить и другое решение, не использующее уравнений. Нам сообщено число а = 12х + 31у. Так как 12x + 24y делится на 12, то числа 7у и а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Умножив на 7, найдем, что 49y и 7а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Но 49y = 48у + y, а 48у делится на 12, Значит, у и 7а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Иными словами, если а не делится на 12, то у равен остатку от деления числа 7а на 12; если же а делится на 12, то y = 12. Этим число у (номер месяца) вполне определяется. Ну, а зная у, уже ничего не стоит узнать х.

Маленький совет: прежде чем узнавать остаток от деления числа 7а на 12, замените само число a его остатком от деления на 12 – считать будет проще. Например, если а = 170, то вы должны произвести в уме следующие вычисления:

170 = 12 · 14 + 2 (остаток, значит, равен 2); 2 · 7 = 14; 14 = 12 · 1 + 2 (значит, y = 2); (значит, x = 2).

Теперь вы можете сообщить товарищу дату его рождения: 9 февраля.

Докажем, что фокус всегда удается без отказа, т. е. что уравнение всегда имеет только одно решение в целых положительных числах. Обозначим число, которое сообщил ваш товарищ, через а, так что нахождение даты его рождения сводится к решению уравнения

12х + 31у = a.

Станем рассуждать "от противного". Предположим, что это уравнение имеет два различных решения в целых положительных числах, а именно решение x₁, y₁ и решение x₂, y₂, причем x₁ и x₂ не превосходят 31, a y₁ и y₂ не превосходят 12. Мы имеем:

Вычитая из первого равенства второе, получим:

.

Из этого равенства вытекает, что число делится на 31. Так как x₁ и x₂ – положительные числа, не превосходящие 31, то их разность по величине меньше чем 31. Поэтому число может делиться на 31 только в том случае, когда , т.е. когда первое решение совпадает со вторым. Таким образом, предположение о существовании двух различных решений приводит к противоречию.

<Paaaa