2.4. Недоліки класичної електронної теорії провідності металів

При загальній узгодженості із законами постійного струму теорія Друде-Лоренца не змогла пояснити цілий ряд явищ, що спостерігаються експериментально. Розглянемо основні з них.

1. Експериментально доведено, що в досить широкому інтервалі температур питомий опір речовини провідника є пропорційним абсолютній температурі (ρ~T або σ~1/T). Згідно з класичною теорією Друде-Лоренца на підставі (1.26), (2.8) та (2.15) знаходимо, що Для того, щоб теоретичні результати не протирічили дослідним, необхідно прийняти що протирічить основним положенням кінетичної теорії газів для <λ>.

2. Ще більші труднощі виникли при обчисленні теплоємності металів. При її обчисленні не можна нехтувати теплоємністю електронного газу, якому класична теорія приписує властивості ідеального газу. Молярна теплоємність металу повинна складатися із теплоємності іонної кристалічної решітки С_1­­=3R та теплоємності електронного газу Отже, молярна теплоємність металу за теорією Друде-Лоренца повинна бути Тут R – газова стала, і – число ступенів вільності – для одноатомного газу і=3. Досліди показують, що молярна теплоємність металів за звичайних температур мало відрізняється від інших твердих тіл і приблизно дорівнює 3R. Співставивши результати дослідів і теоретичних обчислень, приходимо до висновку, що енергія неупорядкованого теплового руху електронів провідності не змінюється при нагріванні провідника. Пояснити цей висновок на підставі класичної теорії неможливо.

3. Для того, щоб, користуючись формулою (2.8) або (2.15), отримати такі значення питомої електропровідності металу, які співпали б з результатами дослідів, необхідно прийняти середню довжину вільного пробігу електронів у сотні разів більшою, ніж період решітки металу, тобто варто припустити, що електрон проходить без зіткнення з іонами решітки сотні міжвузельних відстаней. Таке припущення протирічить основним положенням самої теорії Друде-Лоренца.

Усі ці недоліки класичної теорії зумовлені тим, що електронному газу в металі приписали властивості ідеального газу, що аж ніяк не відповідає дійсності. Результати квантової теорії провідності металів досить добре узгоджуються з результатами дослідів. Квантова теорія не розглядається в даній частині курсу, а в подальшому.

3. Контактна різниця потенціалів.

Термоелектричні та емісійні явища

3.1. Робота виходу електрона з металу.

Контактна різниця потенціалів

Електрони провідності в металі весь час перебувають у стані хаотичного теплового руху. Найбільш рухливі електрони, які мають досить велику кінетичну енергію, можуть вилетіти з металу у навколишній простір. При цьому вони виконують роботу як проти сил притягання з боку надлишкового позитивного заряду, який виникає у металі внаслідок вилітання електронів, так і проти сил відштовхування з боку електронів, що вилетіли раніше і утворили поблизу поверхні металу електронну “хмарку”. Між електронним газом у металі і електронною “хмаркою” існує динамічна рівновага.

Роботу, яку потрібно виконати, щоб видалити електрон із металу в безповітряний простір, називають роботою виходу. Роботу виходу електрони виконують за рахунок зменшення їхньої кінетичної енергії. Тому електрони, які рухаються повільно, вирватись із металу не можуть.

Робота виходу залежить від хімічної природи металу і стану його поверхні; забруднення, залишки вологи тощо змінюють величину цієї роботи. Для чистих металів вона становить величину порядку кількох електрон-вольт (еВ).

Недостача електронів у металевому провіднику та їх надлишок у навколишньому просторі, що утворюється внаслідок вилітання частини електронів із металу, проявляється лише в дуже тонкому шарі по обидва боки від поверхні провідника. Товщина цього шару дорівнює кільком міжатомним відстаням у металі. У першому наближенні можна вважати, що поверхня металу являє собою подвійний електростатичний шар, який нагадує дуже тонкий плоский конденсатор (рис. 3.1).

На рис. 3.1 розглянута лише одна з поверхонь. Різниця потенціалів  між обкладками такого конденсатора залежить від роботи А виходу електрона із металу

(3.1)

де е – абсолютна величина заряду електрона.

Електрон, вилітаючи за межі металу, повинен подолати електричне поле подвійного шару, яке його затримує. Різницю потенціалів , що характеризує це поле, називають поверхневим стрибком потенціалу, або контактною різницею потенціалів між металом і навколишнім середовищем.

Поза подвійним шаром електричного поля немає, і потенціал середовища дорівнює нулеві. Отже, всередині металу потенціал позитивний і дорівнює , а потенціальна енергія електронів провідності негативна і дорівнює , тобто весь об’єм металу становить для електронів провідності “потенціальну яму”, “глибина” якої дорівнює роботі виходу А.

Приведемо в контакт два метали 1 і 2 з різними роботами виходу . Очевидно, що електрони провідності переходитимуть переважно з другого металу до першого. При цьому обидва метали заряджаються різнойменно (їхні заряди дорівнюють один одному) і створюють у навколишньому просторі електричне поле. Здавалося б, що перехід електронів припиниться і настане рівновага, коли потенціали обох металів будуть дорівнювати один одному. Насправді, як показує дослід, у стані термодинамічної рівноваги між двома контактуючими різнорідними металами є деяка різниця потенціалів , яку називають внутрішньою контактною різницею потенціалів.

Різницю потенціалів між двома точками, що знаходяться дуже близько від поверхонь першого і другого контактуючих металів поза ними, називають зовнішньою контактною різницею потенціалів. Вона характеризує електростатичне поле, створене контактуючими металами в просторі, який їх оточує.

Виникнення контактної різниці потенціалів між металевими провідниками, що дотикаються, було відкрито в кінці ХVIII ст. італійським фізиком А. Вольтом. Він експериментально виявив два таких закони (закони Вольта).

І. При з’єднанні двох провідників, виготовлених з різних металів, між ними виникає різниця потенціалів, яка залежить лише від їхнього хімічного складу і температури.

ІІ. Різниця потенціалів між кінцями кола, що складається з послідовно з’єднаних металевих провідників, які перебувають при однаковій температурі, не залежить від хімічного складу проміжних провідників. Вона дорівнює контактній різниці потенціалів, що виникає при безпосередньому з’єднанні крайніх провідників.

Класична електронна теорія провідності металів дала змогу знайти вираз для зовнішньої і внутрішньої контактної різниці потенціалів та пояснити закони Вольта. Зробимо це.

Із потенціальності електростатичного поля випливає, що робота, яку виконують сили поля при переміщенні електрона вздовж замкненого контуру abcda (рис. 3.2) дорівнює нулеві.

.

Оскільки , а , то

(3.2)

Далі буде показано, що при звичайних температурах . Тому можна вважати, що зовнішня контактна різниця потенціалів зумовлена відмінністю робіт виходу електронів із контактуючих металів

. (3.3)

Причина появи внутрішньої контактної різниці потенціалів між металами 1 і 2 пов’язана з тим, що електронний газ у металі уявляється ідеальним, тиск якого

,

де n₀ у даному випадку – число електронів в одиниці об’єму, k – стала Больцмана.

Отже, якщо навіть температури обох металів однакові, а , то тиски електронних газів у цих металах різні і електрони переходитимуть із одного металу до іншого в більшій кількості, ніж навпаки.

Згідно з законом розподілу Больцмана знаходимо:

Для електронів провідності і

Отже,

(3.4)

щ о є математичним виразом першого закону Вольта, оскільки концентрації електронів провідності залежать від хімічної природи металів.

Доведемо другий закон Вольта, розглянувши чотири послідовно з’єднані металеві провідники (рис. 3.3). Різниця потенціалів ₁-₄ між кінцями кола дорівнює:

.

Спираючись на рівняння (3.4), знаходимо

,

тобто ₁-₄ не залежить від природи проміжних провідників.

Оцінимо величини та :

оскільки АеВ.

Якщо прийняти, що n_o дорівнює кількості атомів в одиниці об’єму, то відношення

і При Т300 К , тобто .

Дослід показує, що практично не залежить від температури, а зростає прямо пропорційно температурі (якщо знехтувати більш слабкою залежністю від температури).