2. Розгалужені кола. Правила Кірхгофа

Р озгалужені кола становлять мережу, утворену двома або кількома замкненими електричними колами, які з’єднані між собою в окремих точках і мають спільні ділянки. Точку розгалуженого кола, в якій сходяться три або більше провідників зі струмами, називають вузлом (рис. 1.11).

Ділянкою замкненого контуру, довільно виділеного в мережі, називають частину контуру між двома вузлами. На одній ділянці контуру можуть міститись джерело (або кілька джерел) струму, резистори та інші елементи кола. По різних ділянках одного контуру проходять різні струми. За відомими опорами ділянок і ЕРС, що діють у них, можна розрахувати струми у всіх ділянках і навпаки, для забезпечення необхідних струмів у ділянках можна розрахувати відповідні ЕРС. Ці розрахунки значно спрощуються при використанні двох правил Кірхгофа.

Перше правило Кірхгофа виражає закон збереження заряду в будь-якій точці кола постійного струму і стосується вузлів розгалуженого кола: алгебраїчна сума струмів, які сходяться у вузлі, дорівнює нулеві

(1.35)

де N – кількість струмів, які сходяться у вузлі. Якби ця сума не дорівнювала нулеві, то у вузлі відбувалося б або накопичування заряду, або його зменшення. Це в свою чергу приводило б до зміни потенціалу вузла і до зміни струму в колі. Рівняння (1.35) можна записати для всіх N вузлів кола. Але незалежними є лише N-1 рівнянь, N-2 рівняння буде випливати з них.

Друге правило Кірхгофа є узагальненням закону Ома на розгалужені електричні кола і стосується контурів. Для довільного умовно обраного в колі контуру друге правило Кірхгофа формулюється так: алгебраїчна сума спадів напруг (добутки струмів на опори відповідних ділянок) дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС, які діють у цьому контурі:

(1.36)

де N – кількість ділянок у контурі, m – кількість ЕРС, що діють у контурі.

Доведемо справедливість рівності (1.36), розглянувши замкнений контур, що складається з чотирьох ділянок (рис. 1.12). Виберемо напрям обходу по контуру (наприклад, за напрямом руху кінця годинникової стрілки).

Запишемо закон Ома для кожної з неоднорідних ділянок:

С клавши всі ці рівняння, отримаємо рівняння

яке узгоджується з рівнянням (1.36).

Рівняння (1.36) може бути записаним для всіх замкнених контурів, умоглядно виділених у даному розгалуженому контурі. Однак незалежними будуть лише рівняння для тих контурів, які неможливо отримати накладанням інших контурів один на одного. Так, наприклад, для кола, зображеного на рис. 1.13, можна записати три рівняння:

1. для контуру 1-2-3-6-1,

2. для контуру 3-4-5-6-3,

3. для контуру 1-2-3-4-5-6-1.

Останній контур утворений накладанням перших двох. Отже, ці рівняння не є незалежними. В якості незалежних можна вибрати будь-які два рівняння з трьох.

При складанні рівнянь другого правила Кірхгофа необхідно привласнювати знаки у відповідності з вибраним напрямком обходу. Наприклад, струму І₁ і ε₁ необхідно прийняти знак «–», струм І₁ протікає назустріч напрямку обходу, а ε₁ діє в напрямі, протилежному напрямку обходу.

Напрям обходу в кожному із контурів можна вибирати довільно і незалежно від вибору напрямку в інших контурах.

Кількість незалежних рівнянь, складених у відповідності з першим та другим правилами Кірхгофа, дорівнює кількості струмів, що протікають у розгалуженому колі.

Як приклад, розглянемо коло, зображене на рис. 1.13. Мережа має два вузли (точки 3 і 6). При указаних стрілками напрямках струмів рівняння (1.35) для цих вузлів мають вигляд:

(1.37)

Ці рівняння не є незалежними – будь-яке з них можна отримати з іншого, змінивши знаки на протилежні. Тому для певних розрахунків можна використати одне з них.

Запишемо рівняння (1.36) для контурів 1-2-3-6-1 і 3-4-5-6-3 за прийнятих напрямків обходу:

(1.38)

На підставі першого із рівнянь (1.37) та двох рівнянь (1.38) за відомих значень R₁, R₂, R₃, ε₁, ε₃ та I₂ (див. рис. 1.13), знайдемо, що ε₂=-1,6 В, I₁=1,2 А, I₃=-0,2 А. Від’ємні значення ε₂ та I₃ означають, що напрям ε₂ потрібно взяти протилежний обраному на рис. 1.13, а струм I₃ протікає в напрямі 4-3, а не в напрямі 3-4.