2.2. Основи класичної електронної теорії провідності металів

Класична електронна теорія провідності металів була вперше запропонована в 1900 р. німецьким фізиком П.Друде і знайшла подальший розвиток у роботах датського фізика Х.Лоренца. Цю теорію часто називають теорією Друде-Лоренца.

У цій теорії передбачалось, що сукупність носіїв струму (вільних електронів – електронів провідності) можна розглядати як одноатомний ідеальний газ. Вільні електрони, рухаючись у провіднику зі струмом, накопичують енергію від поля і передають її іонам решітки кристала при зіткненні з ними. Цим зумовлена наявність опору металу електричному струму і виділення джоулевої теплоти. Середня довжина <λ> вільного пробігу електрона за порядком величини повинна дорівнювати періоду кристалічної решітки металу (≈10^-10 м). При накладанні електричного поля електрон у металі бере участь у двох видах руху: теплового (неупорядкованого) та упорядкованого.

Середню швидкість теплового руху електрона в стані теплової рівноваги електронного газу можна визначити із співвідношення між кінетичною енергією електрона і температурою Т електронного газу:

, звідки .

За температури Т=300 К знаходимо, що:

.

Оскільки тепловий рух у стані теплової рівноваги рівноймовірний в усіх напрямах, то і тепловий рух електронів не може забезпечити наявність струму в металевому провіднику.

Швидкість упорядкованого руху електронів провідності можна визначити із співвідношення (1.5): . Для мідного провідника припустима густина струму (за якої він ще не руйнується) j = 10⁷ А/м², концентрація електронів провідності в мідному кристалі n = 8,5∙10²⁸ м^-3, заряд електрона |e| =1,6∙10 ^-19 Кл. Тоді середня дрейфова швидкість електронів провідності у мідному провіднику

<u> .

Отже, дрейфова швидкість електронів у металах набагато менша їх швидкості теплового руху, але саме вона забезпечує наявність електричного струму в металах. Прикладена до провідника різниця потенціалів викликає розповсюдження в ньому і навколо нього електричного поля зі швидкістю . Таким чином, за проміжок часу (де l – довжина провідника) вподовж всього провідника створюється стаціонарне поле і починається упорядкований рух електронів у всіх точках провідника. Якщо l=1000 м, то τ = 3,3∙10 ^-6 с, тобто струм у провіднику починається миттєво (практично водночас з подачею різниці потенціалів).

2.3. Основні закони постійного струму з точки зору класичної електронної теорії провідності металів

Будь-яка теорія може бути визнана задовільною, якщо її основні положення узгоджуються з експериментально виявленими законами в дослідній області. Основне завдання електронної теорії провідності металів полягає у теоретичному обґрунтуванні основних законів постійного струму, установлених експериментально, і пояснення властивостей металів. Розглянемо основні закони на підставі теорії Друде.

1. Закон Ома. Якщо прийняти, що при зіткненні електрона з вузлами кристалічної решітки (іонами) він повністю передає іону набуту ним кінетичну енергію упорядкованого руху, то варто припустити, що середня для всієї сукупності електронів провідності швидкість упорядкованого руху <u> на довжині вільного пробігу <λ> змінюється рівномірно від 0 до <u>_mах. На електрон провідності у провіднику зі струмом діє сила електричного поля F=eE. За другим законом Ньютона ця сила . Інтегрування цього співвідношення дає рішення

, (2.4)

де <τ> – середній час вільного пробігу електрона, який можна визначити за рівнянням:

(2.5)

оскільки <u> << <υ>.

На підставі (2.4) і (2.5) знаходимо:

(2.6)

Середня дрейфова швидкість на довжині вільного пробігу:

.

Густина струму в провіднику:

і (2.7)

Це співвідношення збігається із законом Ома і дає теоретичний вираз емпіричної константи, тобто питомої електропровідності металу:

(2.8)

2. Закон Джоуля-Ленца. Розглянемо процес виділення теплової енергії в провіднику зі струмом з точки зору теорії Друде-Лоренца. Нехай в кінці вільного пробігу електрон повністю передає іону свою кінетичну енергію упорядкованого руху. При одному зіткненні середня для всієї сукупності електронів енергія дорівнює:

В одиницю часу кожен електрон зіткнеться з іонами z разів:

Всі n₀ електронів, що знаходяться в одиниці об’єму провідника, передадуть енергію решітці у вигляді теплоти:

(2.9)

що узгоджується з дослідним законом Джоуля-Лєнца в диференціальній формі.

3. Закон Відемана-Франца. У 1853 р. експериментально був виявлений закон Відемана-Франца: для всіх металів при однаковій температурі відношення коефіцієнта теплопровідності до коефіцієнта електропровідності є величиною сталою:

Подальші дослідження Л.Лоренца показали, що відношення

(2.10)

де константа С приблизно однакова для всіх металів.

Розглянемо цей закон на підставі торії Друде. Теплопровідність металів в основному зумовлена рухом вільних електронів. Оскільки електронному газу привласнені властивості одноатомного ідеального газу, то коефіцієнт теплопровідності металу можна виразити формулою:

Густина електронного газу , питома теплоємність одноатомного газу за сталого об’єму , де k – стала Больцмана. Тоді коефіцієнт теплопровідності

(2.11)

На підставі формул (2.8), (2.10) та (2.11) отримаємо:

, (2.12)

оскільки За теорією Друде-Лоренца стала

не залежить від природи металу.

Теорія Друде була надто спрощеною, оскільки в ній приймалась однакова середня швидкість <υ> теплового руху для всіх електронів провідності.

Лоренц удосконалив теорію Друде, застосувавши до електронного газу статистику Максвелла-Больцмана. Він виходив з того, що за відсутності електричного поля в металі електрони провідності розподілені за швидкостями згідно з законом Максвелла. Це не може викликати упорядковане переміщення електронів, оскільки всі напрями їх теплового руху рівноймовірні. При наявності в металі електричного поля максвеллівський закон розподілу швидкостей порушується: на тепловий рух електронів накладається рух, зумовлений цим полем, середня швидкість цього руху пропорційна напруженості поля. Лоренц отримав закон Ома у вигляді:

, (2.14)

тобто подібний дослідному закону . Однак питома електропровідність металу у формулі (2.14) дещо відрізнилась від отриманої Друде, а саме:

(2.15)

У формулі (2.15) всі позначення числових величин такі самі, як і в формулі (2.8) за винятком . Тут – середнє значення оберненої величини теплової швидкості, обчислене на підставі статистичного розподілу електронів за швидкостями. Закон Відемана-Франца Лоренц отримав у вигляді формули (2.10) з тією лише різницею, що стала величина Цей результат гірше узгоджується з дослідними даними, аніж результат Друде. Нічого суттєво нового удосконалена теорія Лоренца не дала.

Отже взагалі теорія Друде-Лоренца формально не протирічить основним експериментальним законам постійного струму.