Р озв’язування

R₁ = R₅ = 1,5 Ом

R₂ = R₆ = 3 Ом

R₃ = R₇ = 4,5 Ом

R₄ = R₈ = 6 Ом

R - ?

У заданій мережі немає хоч би двох елементів, з’єднаних між собою послідовно або паралельно, відсутня осьова симетрія. Для розрахунку опору мережі скористаємося правилами Кірхгофа. Для цього уявимо, що до затискачів a і b приєднане джерело

з нищівно малим внутрішнім опором (r0).

Позначимо струми на всіх ділянках мережі, довільно вибравши їх напрямки. Маємо дев’ять невідомих сил струмів І₁, І₂, …, І₈, І.

Отже, за правилами Кірхгофа отримаємо систему дев’яти рівнянь. Щоб скоротити розрахунки, скористаємося тим, що наша мережа є симетричною з центром в точці О. Насправді, якщо, від’єднавши мережу в точках a і b від джерела, повернути її в площі рисунка навколо точки О на 180° і знову приєднати її до джерела, то внаслідок даних в умові рівностей вона суміститься зі своїм початковим положенням. Але тепер у резисторі R₅ протікатиме струм, який раніше був у резисторі R₁. Зміна знаків напруги на затискачах мережі не може викликати зміну струму ні на одній ділянці мережі. Отже, як і раніше, в резисторах R₅ та R₁ протікатимуть однакові струми, тобто І₁ = І₅. Аналогічно можна показати, що в даній мережі повинні виконуватись рівності І₂ = І₆, І₃ = І₇, І₄ = І₈. Таким чином, у задачі є лише п’ять невідомих струмів І₁, І₂, І₃, І₄, І. За першим правилом Кірхгофа, враховуючи, що І₄ = І₈, І₂ = І₆, отримаємо відповідно для вузлів a, c i d:

І = І₁ + І₄; (1)

І₁ = І₂ + І₃; (2)

І₃ = І₂ + І₄. (3)

Не важко впевнитися, що для вузлів b, f i e рівняння матимуть вигляд рівнянь (1), (2), (3).

Обравши напрямок обходу по контуру за годинниковою стрілкою, за другим правилом Кірхгофа запишемо, наприклад, для контурів acdb i acea відповідно:

І₁R₁ + І₃R₃ + I₄R₄ = ε; (4)

І₁R₁ + І₂R₂ - І₄R₄ = 0. (5)

Підставивши числові значення із умови задачі і вирішивши систему рівнянь (1) – (5) відносно І, отримаємо

І = ε / 5,25. (6)

Нехтуючи внутрішнім опором джерела струму, за законом Ома отримаємо

І = ε / R. (7)

Із формул (6) та (7), знаходимо, що R = 5,25 Ом.

Відповідь: R = 5,25 Ом.

6.9. Е.р.с. батареї ε = 12 В. Максимальна сила струму, яку може дати батарея, І_max = 5 А. Яка максимальна потужність може виділитися на приєднаному до батареї резисторі зі змінним опором?

Р озв’язування

ε = 12 В

І_max = 5 А

Р_max - ?

Потужність на споживачі (корисна потужність) визначається співвідношенням:

Р = І²R = ε²R / (R + r)­²_, (a)

де R, r – опір зовнішньої і внутрішньої ділянок мережі відповідно.

З формули (а) видно, що за незмінних ε і r потужність Р є функцією зовнішнього опору R. Дослідження формули (а) на екстремум (пропонується читачеві виконати самостійно) показує, що функція (а) досягає максимального значення за умови, що R = r. Отже,

(б)

Згідно із законом Ома для повного кола:

І = ε / (R + r).

Сила струму буде максимальною за умови, що R = 0. Тоді r = ε / І_макс і згідно з формулою (б):

Р_max = ε  І_max / 4. (в)

Перевірка розмірностей у СІ:

[Р] = В  А = А  Ом  А = А²  Ом = Дж / с = Вт.

За умови задачі на підставі формули (в) отримаємо:

Р_max = 12  5 / 4 = 15 Вт.

Відповідь: Р_max = 15 Вт.

6.10. Обмотка електричного кип’ятильника має дві секції. Якщо ввімкнути одну секцію, то вода закипає через t₁ = 10 хв, якщо другу, то через t₂ = 10 хв. Через скільки хвилин закипить вода, якщо обидві секції увімкнути послідовно? Напругу на затискачах і його к.к.д. (η) у всіх випадках вважати однаковими.