Р озв’язування

l = 10 м

U = 12 В

ρ = 1,7∙10^-8 Ом∙м

j - ?

За законом Ома в диференціальній формі густина струму

(а)

оскільки поле в провіднику є однорідним.

Перевірка розмірностей у СІ:

За даними умови задачі та формулою (а) знаходимо:

Відповідь: j = 7,0610⁷А/м² = 70,6 МА/м².

6.5. Дві металеві кульки однакового радіуса а знаходяться на відстані d у необмеженому однорідному провідному середовищі, питомий електричний опір якого . Визначити опір середовища на ділянці між кульками за умови, що d >> a.

Р озв’язування

ρ; a; d;

d >> a

R - ?

Скористаємося законом Ома в диференціальній формі

(а)

П ри цьому приймаємо до уваги, що електричне поле в однорідному середовищі за наявності постійного електричного струму співпадає з електростатичним полем, що існує між електродами при одному і такому самому значенні напруги в непровідному середовищі. Нехай кульки мають однакові за величиною різнойменні заряди q₁ та q₂ (рис 6.1). Оскільки d >> а, то взаємодією між зарядженими кульками можна знехтувати і прийняти, що заряди розподіляються по поверхні кожної кульки рівномірно, лінії вектора (отже, і лінії струму) перпендикулярні до поверхні кульки, а потенціал кожної кульки

(а)

Різниця потенціалів між кульками

(б)

Напруженість поля поблизу поверхні кульки

(в)

Із формул (б) та (в) знаходимо, що Е=U/2a.

Підставивши це значення у формулу (а), знаходимо:

(г)

За законом Ома І=U/R, враховуючи (г) отримуємо:

(д)

Розмірність очевидна.

Відповідь: R = .

6.6. Визначити сумарний імпульс Р електронів у прямому провіднику довжиною l=10 км при силі струму в ньому І=400А.

Р озв’язування

l = 10 км = 1∙10⁴ м

I = 400 A

m = 9,1∙10^-31 кг

e = 1,6∙10^-19 Кл

Р - ?

Струм у металах – це упорядкований рух вільних електронів відносно нерухомого провідника. Цей рух характеризується імпульсом . Загальний імпульс електронів у провіднику дорівнює сумі імпульсів окремих електронів:

.

Оскільки провідник прямий, то всі імпульси мають однакові напрямки і можна прийняти:

(а)

де m – маса електрона, N – число вільних електронів у провіднику, <> - середня швидкість їх упорядкованого руху.

Густина струму , звідки

(б)

де n – концентрація вільних електронів у провіднику, S – площа поперечного перерізу провідника. Очевидно, що

(в)

де – об’єм провідника.

На підставі співвідношень (а), (б) та (в) отримуємо:

(г)

Перевірка розмірностей у СІ:

Підставивши чисельні значення всіх величин у формулу (г), знаходимо:

Відповідь: P = 22,75∙10^-6

6.7. Обчислити загальний опір R мережі (рис. 6.2.), вважаючи, що опір кожного провідника, обмеженого двома вузлами, дорівнює 1,5 Ом.

Р озв’язування

R₁ = 1,5 Ом

R - ?

І з рис. 6.2. видно, що в мережі немає ні однієї пари провідників, з’єднаних між собою послідовно або паралельно, однак схема є симетричною відносно прямої ad, що проходить через точки входу і виходу.

Точка b симетрична точці e. Отже, при наявності струму в мережі, потенціали точок b і e будуть однаковими. Якщо з’єднати ці точки провідником, то струм по ньому не протікатиме. Існуючий до цього розподіл струмів по окремих ділянках мережі не зміниться і її опір залишиться початковим. Це означає, що точки b і e можна об’єднати в один вузол b, не змінивши опір мережі. З тієї самої причини точки c i f можна об’єднати в один вузол с. Тоді отримаємо нову схему мережі (рис. 6 .3) з паралельно-послідовними з’єднаннями. За формулами для паралельного з’єднання і послідовного з’єднання , враховуючи умову задачі, отримуємо:

Розмірність очевидна.

=1,875 Ом.

Відповідь: R = 1,875 Ом.

6.8. Визначити опір мережі ab, схема якої представлена на рис.6.4, якщо R₁ = R₅ = 1,5 Ом, R₂ = R₆ = 3 Ом, R₃ = R₇ = 4,5 Ом, R₄ = R₈ = 6 Ом.